Poincaré-Abbildung

Die Poincaré-Abbildung (auch Poincaré map, first return map, nach dem französischen Mathematiker Henri Poincaré) ist eine mathematische Methode zur Untersuchung des Flusses eines kontinuierlichen n-dimensionalen dynamischen Systems. Dazu betrachtet man die Schnittpunkte einer Trajektorie mit einer (n-1)-dimensionalen transversalen Hyperfläche ${\displaystyle \Sigma }$, dem Poincaré-Schnitt. Die Poincaré-Abbildung ist die Abbildung die jedem dieser Schnittpunkte ${\displaystyle x}$ den jeweils nächsten ${\displaystyle P(x)}$ zuordnet und ist somit ein (n-1)-dimensionales diskretes dynamisches System.

Illustration der Wiederkehr einer Trajektorie nach ${\displaystyle S}$.

Beispiel

Poincaré-Schnitt für eine periodische Trajektorie ${\displaystyle \gamma }$

Betrachte die Differentialgleichung ${\displaystyle {\dot {x}}(t)=f(x(t))}$ und bezeichne mit ${\displaystyle \Phi (t,x)}$ den Fluss, also die Lösung zur Anfangsbedingung ${\displaystyle \Phi (0,x)=x}$. Angenommen, es gibt eine periodische Trajektorie, also eine Lösung ${\displaystyle \Phi (t,p)}$, die bei ${\displaystyle p}$ startet und nach einer bestimmten Zeit ${\displaystyle \tau }$ wieder dorthin zurückkehrt, ${\displaystyle \Phi (\tau ,p)=p}$. Dann kann man eine Fläche ${\displaystyle \Sigma }$ wählen, die transversal zur Trajektorie ${\displaystyle \Phi (t,p)}$ ist und diese in ${\displaystyle p}$ schneidet. Alle Trajektorien, die in Punkten ${\displaystyle x\in \Sigma }$ in der Nähe von ${\displaystyle p}$ starten, werden dann nach einer bestimmten Zeit wieder die Fläche schneiden. Es gibt also eine kleinste positive Zeit ${\displaystyle \tau (x)>0}$, für die ${\displaystyle \Phi (\tau (x),x)\in \Sigma }$ gilt. Dann ist die Poincaré-Abbildung gegeben durch ${\displaystyle P(x)=\Phi (\tau (x),x)}$. Speziell für die periodische Trajektorie erhält man einen Fixpunkt: ${\displaystyle P(p)=p}$. Die Frage, ob die periodische Trajektorie stabil ist, ist nun äquivalent zur Frage, ob der entsprechende Fixpunkt der Poincaré-Abbildung stabil ist.

Anwendung

Die Poincaré-Abbildung i​st besonders z​ur Untersuchung d​er geometrischen Strukturen chaotischer Attraktoren geeignet, d​a die zeitliche Diskretisierung e​ine wesentliche Vereinfachung darstellt.[1]

In d​er Kardiologie findet d​ie Darstellung b​ei der Auswertung e​ines Langzeit-EKGs Verwendung. Durch Anwendung a​uf die Abstände zwischen d​en jeweiligen Herzschlägen k​ann auf Herzrhythmusstörungen w​ie Vorhofflimmern rückgeschlossen werden.

Eine weitere Anwendung findet s​ich in d​er Stressforschung: h​ier lassen s​ich aus d​en Poincaré-Abbildungen m​it den beiden orthogonal aufeinander stehenden Durchmessern SD1 u​nd SD2 d​ie parasympathischen u​nd sympathischen Einflüsse a​uf die Herzfrequenz ablesen (Herzfrequenzvariabilität).

Literatur

• Herbert Amann: Gewöhnliche Differentialgleichungen. 2. Auflage. de Gruyter, Berlin 1995, ISBN 3-11-014582-0.
• D. V. Anosov: Poincaré return map. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online).
• Gerald Teschl: Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems (= Graduate Studies in Mathematics. Band 140). American Mathematical Society, Providence 2012, ISBN 978-0-8218-8328-0 (mat.univie.ac.at).

Einzelnachweise

1. Manfred von Ardenne et al.: Effekte der Physik und ihre Anwendungen. Verlag Harry Deutsch, Frankfurt 2005. ISBN 3-8171-1682-9, S. 1130