Kreisring

Als Kreisring bezeichnet m​an die Fläche zwischen z​wei konzentrischen Kreisen, d. h. zwischen z​wei Kreisen m​it gemeinsamem Mittelpunkt. Sein Flächeninhalt beträgt

${\displaystyle A=\pi \cdot (R^{2}-r^{2})={\frac {\pi }{4}}\cdot (D^{2}-d^{2})}$,

Kreisring mit Bezeichnungen

wobei ${\displaystyle \pi }$ die Kreiszahl ist und ${\displaystyle R}$ und ${\displaystyle r}$ die Radien sowie ${\displaystyle D=2R}$ und ${\displaystyle d=2r}$ die Durchmesser des Außen- bzw. des Innenkreises bedeuten.

Der Flächeninhalt kann auch aus Innendurchmesser ${\displaystyle d}$ bzw. Außendurchmesser ${\displaystyle D}$ und Ringbreite ${\displaystyle b}$ errechnet werden:

${\displaystyle A=\pi \cdot (D-b)\cdot b=\pi \cdot (d+b)\cdot b}$

Diese Angaben finden sich z. B. bei Rohrquerschnitten; dabei ist ${\displaystyle b}$ die Wanddicke.

Ferner lässt sich mit der Kreisringbreite ${\displaystyle b}$ und mit dem mittleren Kreisringdurchmesser ${\displaystyle d_{m}=(D+d)/2}$ der Flächeninhalt ${\displaystyle A}$ berechnen nach

${\displaystyle A=\pi \cdot d_{m}\cdot b}$.

Die Strecke zwischen dem Berührungspunkt der Tangente des Innenkreises und dem Schnittpunkt mit dem Aussenkreis ist bei beiden Kreisringen gleich groß. Der Mathematiker Mamikon Mnatsakian zeigte durch geometrische Transformation, dass in diesem Fall auch die Flächen der Kreisringe gleich groß sind. Die tangential am Innenkreis anliegende Strecke wird schrittweise um den Mittelpunkt des Kreises rotiert. Die dabei gebildeten Segmente können nach innen verschoben werden, bis sie sich im Mittelpunkt treffen. Je schmaler die Segmente gewählt werden, desto glatter wird der Rand der durch das Zusammenschieben gebildeten Kreisfläche.[1]

Anwendungen

Der für hydraulische Anwendungen wirksame hydraulische Durchmesser ${\displaystyle d_{H}}$ bei einem Kreisring beträgt

${\displaystyle d_{H}={\frac {D^{2}-d^{2}}{D+d}}=D-d}$.[2]

Soll z. B. für Bremsscheiben ein Reibmoment ${\displaystyle M_{t}}$ mit der Axialkraft ${\displaystyle F_{ax}}$ und dem Reibwert ${\displaystyle \mu }$ nach

${\displaystyle M_{t}=\mu \cdot F_{ax}\cdot r_{\mu }}$

bestimmt werden, berechnet sich der reibungsrelevante Radius ${\displaystyle r_{\mu }}$ bzw. Durchmesser ${\displaystyle d_{\mu }}$ nach[3]

${\displaystyle r_{\mu }={\frac {2\cdot (R^{3}-r^{3})}{3\cdot (R^{2}-r^{2})}}}$ bzw. ${\displaystyle d_{\mu }={\dfrac {2\cdot (D^{3}-d^{3})}{3\cdot (D^{2}-d^{2})}}}$.

Siehe auch

Torus, Hohlzylinder, Kugelschale

Weblinks

• http://www.mathematische-basteleien.de/ring.htm

Einzelnachweise

Die Strecke d auf der Tangente des Innenkreises ist proportional zur Fläche des Kreisrings.

1. Deanna Haunsperger, Stephen Kennedy: The Edge of the Universe: Celebrating Ten Years of Math Horizons 2006, ISBN 9780883855553 (Abgerufen am 9 May 2017).
2. http://www.schweizer-fn.de/stroemung/druckverlust/druckverlust.php#hkreisring
3. H. Hinzen: Maschinenelemente. Band 2. Oldenbourg Verlag, 2001