Satz von Pólya (Irrfahrten)

Der Satz v​on Pólya i​st ein mathematischer Satz a​us der Wahrscheinlichkeitstheorie, genauer d​er Theorie stochastischer Prozesse. Er beschäftigt s​ich mit d​er Frage, w​ie sich d​ie Rückkehrwahrscheinlichkeit e​iner symmetrischen Irrfahrt z​um Startpunkt verändert, w​enn sich d​ie Dimension d​es Raumes vergrößert, i​n dem d​ie Irrfahrt stattfindet.

Der Satz v​on Pólya gehört z​u den klassischen Ergebnissen i​n der Theorie d​er Irrfahrten u​nd wurde 1921 v​on George Pólya gezeigt.[1]

Vorbereitung

Einige Rückkehrwahrscheinlichkeiten

Dimension ${\displaystyle D}$	Rückkehrwahrscheinlichkeit zum Start[2]
1	1
2	1
3	0.340537
4	0.193206
5	0.135178
6	0.104715
7	0.0858449
8	0.0729126

Der Satz von Pólya beschäftigt sich mit der symmetrischen einfachen Irrfahrt ${\displaystyle X^{D}}$ in ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{D}}$ für Dimensionen ${\displaystyle D\in \mathbb {N} ^{+}}$. Eine solche Irrfahrt ist eine Markow-Kette und durch die Übergangswahrscheinlichkeiten

${\displaystyle P(X_{n+1}^{D}=x|X_{n}^{D}=y)={\begin{cases}{\frac {1}{2D}}&{\text{ falls }}|x-y|=1\\0&{\text{ sonst }}\end{cases}}}$

definiert, wobei ${\displaystyle x,y\in \mathbb {Z} ^{D}}$ sind. Beachte, dass in jeder der ${\displaystyle D}$ Dimensionen ein Schritt vor oder zurückgegangen werden kann, was insgesamt zu ${\displaystyle 2D}$ Möglichkeiten führt, und jede dieser Möglichkeiten ist definitionsgemäß gleich wahrscheinlich. Für ${\displaystyle D=1}$ handelt es sich um die symmetrische einfache Irrfahrt.

Des Weiteren sei

${\displaystyle P(x):=P(\{{\text{ Es gibt ein }}n\geq 1\;{\text{ so dass }}X_{n}=x\}\;|\;X_{0}=x)}$

die Rückkehrwahrscheinlichkeit zum Start für einen vorgegebenen Startpunkt ${\displaystyle x}$. Tatsächlich sind die Rückkehrwahrscheinlichkeiten für alle Punkte immer gleich.

Aussage

Der Satz v​on Pólya lautet nun:

• Für ${\displaystyle D=1}$ und ${\displaystyle D=2}$ ist ${\displaystyle X^{D}}$ rekurrent, es ist also ${\displaystyle P(x)=1}$ für alle ${\displaystyle x}$. Die symmetrische einfache Irrfahrt kehrt also fast sicher zu ihrem Startpunkt zurück und tut dies damit auch unendlich oft.
• Für ${\displaystyle D\geq 3}$ ist ${\displaystyle X^{D}}$ transient, es ist also ${\displaystyle P(x)<1}$ für alle ${\displaystyle x}$. Somit kehrt die symmetrische einfache Irrfahrt fast sicher nur endlich oft zu ihrem Startpunkt zurück.

Weblinks

• A.A. Borovkov: Random Walk. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online).

Literatur

• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.
• Hans-Otto Georgii: Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7, doi:10.1515/9783110215274.
• Polya: Über eine Aufgabe betreffend die Irrfahrt im Straßennetz, Mathematische Annalen, Band 84, 1921, S. 149–160, SUB Göttingen

Einzelnachweise

1. Georgii: Stochastik. 2009, S. 176.
2. Eric W. Weisstein: Pólya's Random Walk Constants. In: MathWorld (englisch).