Satz von Milnor-Moore

Der Satz v​on Milnor-Moore, benannt n​ach John Milnor u​nd John Moore, i​st ein Lehrsatz a​us dem mathematischen Gebiet d​er Theorie d​er Hopf-Algebren. Er stellt u​nter gewissen Voraussetzungen e​inen Zusammenhang zwischen e​iner solchen Hopf-Algebra u​nd der i​n ihr enthaltenen Lie-Algebra d​er primitiven Elemente her.

Formulierung

Es sei ${\displaystyle A=\bigoplus _{n\in N}A_{n}}$ eine graduierte ko-kommutative Hopf-Algebra über einem Körper ${\displaystyle k}$ der Charakteristik ${\displaystyle \operatorname {char} (k)=0}$ und es gelte ${\displaystyle A_{0}\cong k}$ und ${\displaystyle \dim(A_{n})<\infty }$ für alle ${\displaystyle n}$.

Es sei ${\displaystyle P(A)}$ die graduierte Lie-Algebra der primitiven Elemente in ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle U(P(A))}$ die universelle einhüllende Algebra von ${\displaystyle P(A)}$.

Dann i​st der natürliche Hopf-Algebren-Homomorphismus

${\displaystyle U(P(A))\to A}$

ein Isomorphismus.[1]

H-Räume

Häufig w​ird auch d​ie folgende Anwendung a​ls Satz v​on Milnor-Moore bezeichnet.[2]

Es sei ${\displaystyle X}$ ein wegzusammenhängender homotopie-assoziativer H-Raum. Dann ist der Hurewicz-Homomorphismus

${\displaystyle \pi _{*}(X)\otimes k\to H_{*}(X;k)}$

injektiv und sein Bild wird von den primitiven Elementen in ${\displaystyle H_{*}(X;k)}$ erzeugt.

K-Theorie

Ein Spezialfall ergibt sich durch Anwendung auf die algebraische K-Theorie eines Ringes ${\displaystyle R}$: der Hurewicz-Homomorphismus

${\displaystyle K_{*}(R)\otimes k\to H_{*}(BGL(R);k)}$

in die Gruppenhomologie der allgemeinen linearen Gruppe ist injektiv und sein Bild wird von den primitiven Elementen in ${\displaystyle H_{*}(BGL(R);k)}$ erzeugt.

Literatur

• John Milnor, John Moore: On the structure of Hopf algebras. Ann. of Math. (2) 81 (1965) S. 211–264, online.

Einzelnachweise

1. Milnor-Moore, Theorem 5.18
2. Milnor-Moore, Appendix