Graduierter Ring

In d​er kommutativen Algebra u​nd der algebraischen Geometrie i​st ein graduierter Ring e​ine Verallgemeinerung d​es Polynomrings i​n mehreren Veränderlichen. Er i​st in d​er algebraischen Geometrie e​in Mittel, projektive Varietäten z​u beschreiben.

Dieser Artikel beschäftigt s​ich mit kommutativer Algebra. Insbesondere s​ind alle betrachteten Ringe kommutativ u​nd haben e​in Einselement. Ringhomomorphismen bilden Einselemente a​uf Einselemente ab. Für weitere Details s​iehe Kommutative Algebra.

Definition

Ein graduierter Ring A i​st ein Ring, d​er eine Darstellung a​ls direkte Summe v​on abelschen Gruppen hat:

${\displaystyle A=\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }A_{n}=A_{0}\oplus A_{1}\oplus A_{2}\oplus \cdots }$

sodass ${\displaystyle A_{i}A_{j}\subseteq A_{i+j}.}$

Elemente von ${\displaystyle A_{j}}$ werden homogene Elemente vom Grad ${\displaystyle j}$ genannt. Jedes Element eines graduierten Ringes kann eindeutig als Summe von homogenen Elementen geschrieben werden.

Ein Ideal ${\displaystyle I}$ wird homogen genannt, wenn:

${\displaystyle I=\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }(I\cap A_{n})}$

Ist ${\displaystyle I}$ ein Ideal des Ringes ${\displaystyle R}$, so kann der zum Ideal ${\displaystyle I}$ assoziierte Ring ${\displaystyle \mathrm {gr} _{I}(R)}$ gebildet werden:

${\displaystyle \mathrm {gr} _{I}(R)=\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }I^{n}/I^{n+1}}$

Eigenschaften

• Ein Ideal ist genau dann homogen, wenn es von homogenen Elementen erzeugt werden kann.
• Die Summe, das Produkt, der Schnitt und das Radikal homogener Ideale ist wieder homogen.
• Ein homogenes Ideal ${\displaystyle I}$ ist genau dann prim, wenn für alle homogenen ${\displaystyle f,g\in R}$ gilt:

${\displaystyle fg\in I\ \Leftrightarrow (f\in I\lor g\in I)}$

• Ist ${\displaystyle R}$ noethersch und ${\displaystyle I\subset R}$ ein Ideal, dann ist auch ${\displaystyle \mathrm {gr} _{I}(R)}$ noethersch.

Charakterisierung regulärer Ringe

Ist ${\displaystyle R}$ ein lokaler noetherscher Ring, ${\displaystyle m}$ sein maximales Ideal, ${\displaystyle k=R/m}$ und ${\displaystyle x_{1},\dots x_{n}}$ eine ${\displaystyle k}$-Basis des Vektorraums ${\displaystyle m/m^{2}}$, so sind folgende Aussagen äquivalent:

(1) ${\displaystyle R}$ ist regulär.

(2) Der durch

${\displaystyle f\colon X_{i}\mapsto x_{i}}$

definierte Homomorphismus

${\displaystyle f\colon k[X_{1},\dots ,X_{n}]\to \mathrm {gr} _{m}(R)}$

ist ein Isomorphismus von graduierten ${\displaystyle k}$-Algebren.

Beispiele

• Wenn ${\displaystyle K}$ ein Körper ist, dann ist ${\displaystyle K[X_{1},\dots X_{n}]}$ auf natürliche Weise ein graduierter Ring.
• Dieser Ring kann auch mit einer anderen Graduierung versehen werden:

Ist ${\displaystyle (i_{1},\dots ,i_{n})\in \mathbb {N} ^{n}}$, so ist ${\displaystyle A_{k}}$ die Menge der quasihomogenen Polynome vom Grad ${\displaystyle k}$:

${\displaystyle A_{k}:=\sum _{\alpha _{1}i_{1}+\dots +\alpha _{n}i_{n}=k}s_{\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}}X^{i_{1}}\dots X^{i_{n}}}$

Siehe auch

• Hilbert-Samuel-Polynom

Literatur

• Ernst Kunz: Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie, Vieweg (1980), ISBN 3-528-07246-6
• Atiyah, Macdonald: Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley (1969), ISBN 0-2010-0361-9
• Brüske, Ischebeck, Vogel: Kommutative Algebra, Bibliographisches Institut (1989), ISBN 978-3411140411
• Robin Hartshorne: Algebraic Geometry, Springer-Verlag, New York/Berlin/Heidelberg 1977, ISBN 3-540-90244-9