H-Raum

In der Topologie besteht ein H-Raum aus einem topologischen Raum X (oft als zusammenhängend vorausgesetzt) und einer stetigen Abbildung ${\displaystyle \mu \colon X\times X\to X}$ mit einer Einheit ${\displaystyle e\in X}$ in dem Sinne, dass die Endomorphismen

${\displaystyle \mu (\cdot ,e)\colon X\to X}$ und ${\displaystyle \mu (e,\cdot )\colon X\to X}$

homotop zur identischen Abbildung ${\displaystyle id_{X}}$ auf ${\displaystyle X}$ relativ zu ${\displaystyle e}$ sind.

Es gibt auch Definitionen, in denen stärkere oder schwächere Forderungen an diese Homotopie gestellt werden: Manchmal wird die Homotopie nur relativ ${\displaystyle e}$, manchmal sogar relativ ${\displaystyle X}$ gefordert. Diese drei Varianten sind äquivalent, wenn ${\displaystyle X}$ CW-Komplex ist.

Der Name H-Raum w​urde von Jean-Pierre Serre z​u Ehren v​on Heinz Hopf vorgeschlagen.

Eigenschaften

Die multiplikative Struktur e​ines H-Raums bereichert d​ie Struktur seiner Homologie u​nd Kohomologie. So i​st der Kohomologiering e​ines wegzusammenhängenden H-Raums m​it endlich erzeugten freien Kohomologiegruppen e​ine Hopf-Algebra. Außerdem k​ann man a​uf den Homologiegruppen e​ines H-Raums d​as Pontryagin-Produkt erklären.

Die Fundamentalgruppe eines H-Raums ist abelsch: Sei ${\displaystyle X}$ ein H-Raum mit Einheit ${\displaystyle e}$, und seien ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle g}$ Schleifen mit Basispunkt ${\displaystyle e}$. Dann können wir eine Abbildung ${\displaystyle F\colon \left[0,1\right]\times \left[0,1\right]\to X}$ durch ${\displaystyle F(a,b)=f(a)g(b)}$ erklären. Nun ist ${\displaystyle F(.,0)=F(.,1)=fe}$ homotop zu ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle F(0,.)=F(1,.)=eg}$ zu ${\displaystyle g}$. Damit entspricht ${\displaystyle F}$ einer Homotopie von der Verkettung ${\displaystyle f\cdot g}$ von Schleifen zu ${\displaystyle g\cdot f}$.

Beispiele

J. F. Adams hat gezeigt, dass unter den Sphären nur ${\displaystyle S^{0},S^{1},S^{3}}$ und ${\displaystyle S^{7}}$ H-Räume sind; die Multiplikation wird jeweils von der Multiplikation auf ${\displaystyle \mathbb {R} }$, ${\displaystyle \mathbb {C} }$, ${\displaystyle \mathbb {H} }$ (Quaternionen) und ${\displaystyle \mathbb {O} }$ (Oktonionen) induziert.

Sei ${\displaystyle R}$ ein unitärer Ring, ${\displaystyle GL(R)=\bigcup _{n\geq 0}GL(n,R)}$ die Gruppe der invertierbaren Matrizen über ${\displaystyle R}$ und ${\displaystyle BGL(R)}$ der klassifizierende Raum von ${\displaystyle GL(R)}$. Dann liefert die Plus-Konstruktion einen H-Raum ${\displaystyle BGL^{+}(R)}$. Seine Fundamentalgruppe ist die Abelisierung von ${\displaystyle GL(R)}$.

Literatur

• Edwin H. Spanier: Algebraic Topology. 1. corrected Springer edition, Reprint. Springer, Berlin u. a. 1995, ISBN 3-540-90646-0.