Koalgebra

Eine Koalgebra i​st ein Vektorraum, d​er die z​u einer Algebra d​uale Struktur besitzt. Das heißt anstelle e​iner Multiplikation, d​ie zwei Elemente a​uf ihr Produkt abbildet, g​ibt es e​ine Komultiplikation, d​ie ein Element a​uf ein Tensorprodukt abbildet, u​nd anstelle e​ines neutralen Elements, d​as die Einbettung d​es Grundkörpers i​n die Algebra ermöglicht, g​ibt es e​ine Abbildung a​us der Koalgebra i​n den Grundkörper, d​ie Koeins genannt wird.

Definition

Eine Koalgebra über einem Körper ${\displaystyle k}$ ist ein ${\displaystyle k}$-Vektorraum ${\displaystyle C}$ mit Vektorraumhomomorphismen ${\displaystyle \Delta _{C}\colon C\to C\otimes _{k}C}$, genannt Komultiplikation, Koprodukt oder auch Diagonale, und ${\displaystyle \epsilon _{C}\colon C\to k}$, genannt Koeins, so dass

${\displaystyle (\mathrm {id} _{C}\otimes \Delta _{C})\circ \Delta _{C}=(\Delta _{C}\otimes \mathrm {id} _{C})\circ \Delta _{C}}$ (Koassoziativität)

${\displaystyle (\mathrm {id} _{C}\otimes \epsilon _{C})\circ \Delta _{C}=\mathrm {id} _{C}=(\epsilon _{C}\otimes \mathrm {id} _{C})\circ \Delta _{C}}$ (Koeins)

Ein Koalgebrahomomorphismus zwischen zwei Koalgebren C und D ist ein Vektorraumhomomorphismus ${\displaystyle f\colon C\to D}$ mit

${\displaystyle f\otimes f\circ \Delta _{C}=\Delta _{D}\circ f}$ und ${\displaystyle \epsilon _{C}=\epsilon _{D}\circ f}$.

Beispiel

Sei ${\displaystyle (e_{1},e_{2},e_{3})}$ die kanonische Basis von ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$. Man kann auf ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ eine Koalgebra-Struktur mittels

${\displaystyle \Delta _{\mathbb {R} ^{3}}(e_{i})=e_{i}\otimes e_{i}}$

und

${\displaystyle \epsilon _{\mathbb {R} ^{3}}(e_{i})=1}$

definieren.

${\displaystyle \Delta _{\mathbb {R} ^{3}}}$ ist koassoziativ, da

${\displaystyle e_{i}\otimes \Delta _{\mathbb {R} ^{3}}(e_{i})=e_{i}\otimes e_{i}\otimes e_{i}=\Delta _{\mathbb {R} ^{3}}(e_{i})\otimes e_{i}}$,

und ${\displaystyle \epsilon _{\mathbb {R} ^{3}}}$ ist Koeins, da

${\displaystyle e_{i}\otimes \epsilon _{\mathbb {R} ^{3}}(e_{i})=e_{i}=\epsilon _{\mathbb {R} ^{3}}(e_{i})\otimes e_{i}}$.

Die Elemente von ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\otimes \mathbb {R} ^{3}}$ sind Tensoren zweiter Stufe und können daher als Matrizen dargestellt werden. Die Komultiplikation ist dann

${\displaystyle \Delta _{\mathbb {R} ^{3}}{\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}=a_{1}\Delta _{\mathbb {R} ^{3}}{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}+a_{2}\Delta _{\mathbb {R} ^{3}}{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}+a_{3}\Delta _{\mathbb {R} ^{3}}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1}&0&0\\0&a_{2}&0\\0&0&a_{3}\end{pmatrix}}}$.

Dualität

Die Multiplikation ${\displaystyle \mu _{A}}$ einer (unitären assoziativen) Algebra ${\displaystyle A}$ ist bilinear, und aufgrund der Universellen Eigenschaft des Tensorprodukts kann sie als Abbildung von ${\displaystyle A\otimes A}$ nach ${\displaystyle A}$ aufgefasst werden. Die Multiplikation ist genau dann assoziativ, wenn das folgende Diagramm kommutiert.

Eine Algebra ${\displaystyle A}$ besitzt genau dann ein neutrales Element, wenn es einen Vektorraumhomomorphismus ${\displaystyle \eta _{A}}$ gibt, so dass das folgende Diagramm kommutiert:

In diesem Fall gilt ${\displaystyle 1_{A}=\eta _{A}(1_{k})}$.

Eine Koalgebra ${\displaystyle C}$ ist eine Algebra in der zu den Vektorräumen ${\displaystyle \mathrm {Vekt} }$ dualen Kategorie ${\displaystyle \mathrm {Vekt} ^{\mathrm {op} }}$. Das heißt, anstelle der Multiplikation gibt es eine Abbildung ${\displaystyle \Delta _{C}\colon C\to C\otimes C}$, so dass das folgende duale Diagramm kommutiert:

Und anstelle eines neutralen Elements gibt es eine Abbildung ${\displaystyle \epsilon _{C}\colon C\to k}$, so dass das folgende duale Diagramm kommutiert:

Sweedlernotation

Über das Koprodukt ${\displaystyle \Delta _{C}(x)}$ eines Elements ${\displaystyle x\in C}$ ist im Allgemeinen nur bekannt, dass es in ${\displaystyle C\otimes C}$ liegt und sich folglich als

${\displaystyle \Delta _{C}(x)=\sum _{i}x_{(1)}^{(i)}\otimes x_{(2)}^{(i)}}$

darstellen lässt. In d​er Sweedler-Notation (nach Moss Sweedler) w​ird dies abgekürzt, i​ndem man symbolisch

${\displaystyle \Delta _{C}(x)=\sum _{(x)}x_{(1)}\otimes x_{(2)}}$

schreibt. In summenloser Sweedler-Notation verzichtet m​an sogar a​uf das Summensymbol u​nd schreibt

${\displaystyle \Delta _{C}(x)=x_{(1)}\otimes x_{(2)}}$

Es ist dabei wichtig zu beachten, dass diese Schreibweise nach wie vor eine Summe bezeichnet. Die Symbole ${\displaystyle x_{(1)}}$ und ${\displaystyle x_{(2)}}$ sind für sich allein bedeutungslos und stehen nicht für bestimmte Elemente aus ${\displaystyle C}$, denn die Darstellung von ${\displaystyle \textstyle \Delta _{C}(x)}$ ist nicht eindeutig. Bei Rechnungen in der Sweedlernotation liest man die ${\displaystyle \textstyle x_{(k)}^{(i)}}$ am besten als "geeignete und für diese Rechnung fest gewählte" Elemente.

Diese Schreibweise ermöglicht es, die Komposition von ${\displaystyle \Delta _{C}}$ mit anderen Funktionen als

${\displaystyle (f\otimes g)\circ \Delta _{C}(x)=f(x_{(1)})\otimes g(x_{(2)})}$

zu schreiben.

In summenloser Sweedler-Notation ist ${\displaystyle \epsilon _{C}}$ genau dann Koeins, wenn

${\displaystyle \epsilon _{C}(x_{(1)})x_{(2)}=x=x_{(1)}\epsilon _{C}(x_{(2)})}$.

Das Koprodukt ${\displaystyle \Delta _{C}}$ ist genau dann koassoziativ, wenn

${\displaystyle x_{(1)}\otimes \Delta _{C}(x_{(2)})=\Delta _{C}(x_{(1)})\otimes x_{(2)}}$.

Dieses Element w​ird in Sweedler-Notation symbolisch als

${\displaystyle \sum _{(x)}x_{(1)}\otimes x_{(2)}\otimes x_{(3)}}$

und summenlos als

${\displaystyle x_{(1)}\otimes x_{(2)}\otimes x_{(3)}}$

geschrieben.

Durch erneutes Anwenden von ${\displaystyle \Delta _{C}}$ entstehen längere Tensorprodukte, die analog geschrieben werden. Dabei muss man die „Indizes“ der hinteren Elemente gegebenenfalls erhöhen:

${\displaystyle f(x_{(1)})\otimes \Delta _{C}(x_{(2)})\otimes g(x_{(3)})=f(x_{(1)})\otimes x_{(2)}\otimes x_{(3)}\otimes g(x_{(4)})}$.

Durch Anwenden von ${\displaystyle \epsilon _{C}}$ verkürzen sich die Tensorprodukte, die „Indizes“ der hinteren Elemente werden entsprechend angepasst:

${\displaystyle f(x_{(1)})\otimes \epsilon _{C}(x_{(2)})\otimes x_{(3)}\otimes g(x_{(4)})=f(x_{(1)})\otimes x_{(2)}\otimes g(x_{(3)})}$.

Literatur

• Christian Kassel: Quantum Groups In: Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, ISBN 0-387-94370-6.