Satz von Mertens (Resultantensystem)

Der Satz v​on Mertens i​st ein Satz über homogene Polynome, d​er unter anderem i​n der algebraischen Geometrie für projektiv algebraische Mengen relevant ist.

Formulierung

Seien K ein algebraisch abgeschlossener Körper und ${\displaystyle f_{1},...,f_{r}\in K[t_{0},...,t_{n}]}$ homogene Polynome der Grade ${\displaystyle g_{1},...,g_{r}}$:

${\displaystyle f_{I}=\sum _{I}a_{I}^{(i)}t_{0}^{i_{0}}...t_{n}^{i_{n}}}$

Dann gibt es ein Resultantensystem, das heißt Polynome ${\displaystyle R_{1},...,R_{N}}$ in den Unbestimmten ${\displaystyle a_{I}^{(i)}}$, sodass die Polynome ${\displaystyle f_{1},...,f_{r}}$ eine gemeinsame Nullstelle außer 0 haben (also eine im projektiven Raum), genau dann wenn für alle k ${\displaystyle R_{k}(a_{I}^{(i)})=0}$

Beweis

${\displaystyle f_{1},...,f_{r}}$ haben keine gemeinsame Nullstelle außer 0 genau dann, wenn ihre gemeinsame Nullstellenmenge in der Nullstellenmenge von ${\displaystyle t_{0},...,t_{n}}$ enthalten ist, die ja nur die 0 ist. Wie man sich mit Hilfe des Hilbertschen Nullstellensatzes leicht überlegen kann, ist dies genau dann der Fall, wenn es eine natürliche Zahl d gibt, sodass ${\displaystyle {\underline {t}}^{D}\in <f_{1},...,f_{r}>}$ für alle Multiindizes mit Betrag d. Also sind alle Monome des Grades d in diesem Ideal enthalten, lassen sich also darstellen als Summe dieser mit anderen ohne Einschränkung homogenen Polynomen als Koeffizienten. Unter den ${\displaystyle {\underline {t}}^{D}f_{i}}$, wobei ${\displaystyle |D|=d-g_{i}}$ muss es also soviel linear unabhängige geben wie Monome des Grades d. Also gilt: Sie haben keine gemeinsame Nullstelle außer der 0 genau dann, wenn für alle natürlichen Zahlen d je ${\displaystyle e_{d}}$ (Anzahl Monome des Grades d) der ${\displaystyle {\underline {t}}^{D}f_{i}}$ linear unabhängig sind. Dies ist äquivalent zum Verschwinden von ${\displaystyle e_{d}}$ -Unterdeterminanten gebildet aus 0 und ${\displaystyle a_{I}^{(i)}}$. Dies sind Polynome in den ${\displaystyle a_{I}^{(i)}}$ und wegen Noetherzität von ${\displaystyle K[t_{0},....,t_{n}]}$ (Hilbertscher Basissatz) reichen endlich viele.

Literatur

• Franz Mertens: Zur Theorie der Elimination (= Sitzungsberichte der Wiener Akademie der Wissenschaften), Band 108 (1889), Seite 1174.
• B. L. van der Waerden: Zur Konstruktion des Resultantensystems für homogene Gleichungen. In: Archiv der Mathematik, Band 5 (1954), Heft 4–6, S. 371ff, ISSN 0003-889X