Satz von Müntz-Szász

Der Satz v​on Müntz-Szász (englisch Müntz-Szász theorem) i​st einer d​er Approximationssätze d​es mathematischen Gebiets d​er Analysis. Er g​eht auf Arbeiten d​er beiden Mathematiker Herman (Chaim) Müntz u​nd Otto Szász a​us den Jahren 1914 bzw. 1916 zurück. Der Satz behandelt, anschließend a​n den klassischen Approximationssatz v​on Weierstraß, d​ie Frage d​er Bedingungen, u​nter denen d​ie stetigen komplexwertigen Funktionen a​uf dem abgeschlossenen Einheitsintervall d​urch Linearkombinationen geeigneter Potenzfunktionen gleichmäßig approximiert werden können.[1]

Formulierung des Satzes

Der Darstellung v​on Walter Rudin folgend k​ann der Approximationssatz angegeben werden w​ie folgt:[2]

Sei ${\displaystyle \,\,C=C(I,\mathbb {C} )}$ der zum Einheitsintervall ${\displaystyle I=[0,1]\subseteq \mathbb {R} }$ gehörige Funktionenraum der stetigen komplexwertigen Funktionen ${\displaystyle f\colon I\to \mathbb {C} }$, versehen mit der Maximumsnorm, und sei ${\displaystyle (p_{n})_{n=1,2,\ldots }}$ eine Folge reeller Zahlen mit ${\displaystyle 0<p_{1}<p_{2}<p_{3}<\ldots }$.

Sei weiter ${\displaystyle X\subseteq C}$ der topologische Abschluss des ${\displaystyle \mathbb {C} }$ -linearen Unterraums, der von den Potenzfunktionen ${\displaystyle \,\,1,t^{p_{1}},t^{p_{2}},t^{p_{3}},\ldots \,\,\left(t\in I\right)\,\,}$ erzeugt wird.

Dann gilt:

(a) Dann und nur dann ist ${\displaystyle \,\,X=C\,\,}$, wenn ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{p_{k}}}=\infty }$ gilt .

(b) Ist jedoch ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{p_{k}}}<\infty }$ und ist weiter ${\displaystyle \,\,p\in {\mathbb {C} \setminus \{0,p_{1},p_{2},p_{3},\ldots \}}\,\,}$ , so ist die Potenzfunktion ${\displaystyle \,\,t^{p}\,\,}$ nicht in ${\displaystyle X}$ enthalten.

Andere Version

Der Satz von Müntz-Szász, der bei einigen Autoren oft auch nur als Satz von Müntz bezeichnet wird, gab Anlass zu einer Vielzahl von Verallgemeinerungen und weitergehenden Untersuchungen.[3][4] Dabei wurde und wird, wie es schon Otto Szász in 1916 tat und wie in der Folge von anderen Autoren aufgegriffen wurde, von der Voraussetzung, dass die dort auftretenden Exponenten ${\displaystyle \,\,p_{1},p_{2},p_{3},\ldots \,\,}$ positive Zahlen sein sollen, in der Regel abgewichen. Stattdessen werden komplexe Exponenten ${\displaystyle \,\,z_{1},z_{2},z_{3},\ldots \,\,}$ mit positivem Realteil betrachtet, für die zwei gewisse unendliche Reihen divergieren bzw. konvergieren. Man gewinnt damit etwa die folgende Version:[5][6]

Sei ${\displaystyle \,\,C\,\,}$ der oben schon gegebene Funktionenraum und sei ${\displaystyle (z_{n})_{n=1,2,\ldots }}$ eine Folge komplexer Zahlen mit ${\displaystyle \,\,\operatorname {Re} (z_{n})>0\,(n=1,2,\ldots )}$.

Sei weiter ${\displaystyle X\subseteq C}$ der topologische Abschluss des von den Potenzfunktionen ${\displaystyle \,\,1,t^{z_{1}},t^{z_{2}},t^{z_{3}},\ldots \,\,\left(t\in I\right)\,\,}$ erzeugten ${\displaystyle \mathbb {C} }$ -linearen Unterraums.

Dann gilt:

(a) Im Falle, dass ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\operatorname {Re} (z_{k})}{1+|z_{k}|^{2}}}=\infty }$ gilt, ist ${\displaystyle \,\,X=C\,\,}$ .[A 1]

(b) Andererseits ist im Falle, dass ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\operatorname {Re} (z_{k})+1}{1+|z_{k}|^{2}}}<\infty }$ gilt, ${\displaystyle \,\,X\neq C\,\,}$ .

Literatur

• Günter Meinardus: Approximation von Funktionen und ihre numerische Behandlung (= Springer Tracts in Natural Philosophy. Band 4). Springer Verlag, Berlin, Göttingen, Heidelberg, New York 1964 (MR0176272).
• H. Müntz: Über den Approximationssatz von Weierstrass. In: Festschrift H. A. Schwarz. Springer Verlag, Berlin 1914, S. 303–312.
• Walter Rudin: Reelle und Komplexe Analysis. 2., verbesserte Auflage. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, Berlin 2009, ISBN 978-3-486-59186-6.
• Arnold Schönhage: Approximationstheorie (= de Gruyter Lehrbuch). Walter de Gruyter & Co., Berlin, New York 1971 (MR0277960).
• Alan R. Siegel: On the Müntz-Szász theorem for C[0,1]. In: Proceedings of the American Mathematical Society. Band 36, 1972, S. 161–166 (MR0306777).
• Otto Szász: Über die Approximation stetiger Funktionen durch lineare Aggregate von Potenzen. In: Mathematische Annalen. Band 77, 1916, S. 482–496 (MR1511875).

Einzelnachweise

1. Walter Rudin: Reelle und Komplexe Analysis. 2009, S. 374–377
2. Rudin, op. cit., S. 375
3. Günter Meinardus: Approximation von Funktionen und ihre numerische Behandlung. 1964, S. 6–10
4. Arnold Schönhage: Approximationstheorie. 1971, S. 8 ff., S. 49
5. O. Szász: Über die Approximation stetiger Funktionen durch lineare Aggregate von Potenzen. In: Math. Ann., 77, S. 482–496
6. A. R. Siegel: On the Müntz-Szász theorem for C[0,1]. In: Proc. Amer. Math. Soc., 36, S. 161–166

Anmerkungen

1. ${\displaystyle |\cdot |}$ ist die komplexe Betragsfunktion.