Satz von Lax-Wendroff

Der Satz v​on Lax-Wendroff besagt, dass, f​alls die numerischen Lösungen e​iner hyperbolischen Erhaltungsgleichung konvergieren, s​ie gegen e​ine schwache Lösung d​er Gleichung konvergieren. Es handelt s​ich dabei u​m eine Aussage a​us der numerischen Mathematik, d​ie nach Peter Lax u​nd Burton Wendroff benannt ist.

Satz

Sei eine hyperbolische Erhaltungsgleichung mit Anfangswert ${\displaystyle U_{0}}$ gegeben:

${\displaystyle {\begin{aligned}\partial _{t}U+\partial _{x}F(U)&=0,\\U(x,0)&=U_{0}(x),\end{aligned}}}$

wobei ${\displaystyle U\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} ^{n}}$ die gesuchte Funktion und ${\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ die exakte Flussfunktion ist. Die numerische Flussfunktion sei mit ${\displaystyle {\tilde {F}}\colon \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ gegeben. Des Weiteren muss gelten:

1. ${\displaystyle {\tilde {F}}}$ sei konsistent: Für alle ${\displaystyle V\in \mathbb {R} ^{n}}$ ist ${\displaystyle {\tilde {F}}(V,V)=F(V)}$.
2. ${\displaystyle {\tilde {F}}}$ sei Lipschitz-stetig in jedem Argument.
3. die numerischen Approximationen ${\displaystyle U_{\Delta t}}$ haben kompakten Träger und beschränkte Variation: ${\displaystyle TV\left(U_{\Delta t}(\cdot ,t)\right)<\infty }$.

Falls n​un die numerischen Approximationen konvergieren:

${\displaystyle \|U_{\Delta t}-U\|_{L^{1}(\mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{+})}\longrightarrow 0\quad {\textrm {mit}}\;\Delta t\rightarrow 0}$,

so ist ${\displaystyle U}$ eine schwache Lösung des Anfangswertproblems.

Literatur

• Randall J. LeVeque: Numerical methods for conservation laws. Birkhäuser, 1992, ISBN 978-3-7643-2723-1.