Satz von Hopf

Der Satz v​on Hopf i​st ein Lehrsatz a​us dem mathematischen Teilgebiet d​er algebraischen Topologie. Er g​eht auf e​ine wichtige Arbeit d​es Mathematikers Heinz Hopf zurück, welche i​m Band 96 d​er Mathematischen Annalen i​m Jahre 1927 erschien[1]. Der Satz w​ird stellenweise a​uch als Satz v​on Brouwer-Hopf[2] bezeichnet, w​eil Heinz Hopf seinen Satz i​n Erweiterung e​ines früheren Resultats v​on Luitzen Egbertus Jan Brouwer erzielt hat.

Im Rahmen d​er Thom-Pontryagin-Theorie w​ird gezeigt, d​ass der Satz v​on Hopf a​ls Spezialfall a​us einem übergeordneten Theorem folgt.[3]

Formulierung des Satzes

Der Satz lässt s​ich in moderner Formulierung e​twa folgendermaßen angeben:[4]

Für jede zusammenhängende, orientierte, geschlossene, differenzierbare n-Mannigfaltigkeit   ${\displaystyle M}$   (  ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$  ) ist der Abbildungsgrad eine Homotopieinvariante von Abbildungen in die n-Sphäre derart, dass je zwei stetige Abbildungen   ${\displaystyle f_{1},f_{2}}$  , welche die Mannigfaltigkeit   ${\displaystyle M}$   in die n-Sphäre   ${\displaystyle S^{n}\subset {\mathbb {R} }^{n+1}}$   abbilden, genau dann homotop sind, wenn sie denselben Abbildungsgrad   ${\displaystyle D(f_{1})=D(f_{2})}$   haben.

Weil sich jede ganze Zahl   ${\displaystyle \gamma \in \mathbb {Z} }$   als Abbildungsgrad einer geeignet gewählten stetigen Abbildung der gegebenen Mannigfaltigkeit   ${\displaystyle M}$   in die n-Sphäre realisieren lässt, gilt dann sogar:

Ist   ${\displaystyle [M,S^{n}]}$   das Mengensystem der Homotopieklassen der stetigen Abbildungen   ${\displaystyle f\colon \,M\to S^{n}}$  , so vermittelt die Abbildungsgradfunktion   ${\displaystyle D}$   eine Bijektion   ${\displaystyle {\overline {D}}\colon \,[M,S^{n}]\to \mathbb {Z} }$  , durch die zu jedem   ${\displaystyle \gamma \in \mathbb {Z} }$   genau eine Homotopieklasse   ${\displaystyle [f]\in [M,S^{n}]}$   mit   ${\displaystyle {\overline {D}}([f])=D(f)=\gamma }$   gehört.

Der allgemeine Satz für die Dimension 2

Der Satz für d​ie n = 2 i​st im Wesentlichen dasjenige Resultat, welches Brouwer i​n seiner Arbeit i​m Band 71 d​er Mathematischen Annalen i​m Jahre 1912 vorgestellt hat.

Der spezielle Satz für die Sphäre

Die Hauptanwendung findet der Satz von Hopf in dem Fall   ${\displaystyle M=S^{n}}$:[5][6]

Zwei stetige Abbildungen der n-Sphäre in sich selbst sind genau dann homotop, wenn ihre Abbildungsgrade übereinstimmen.

Dabei zeigt sich, dass die obige durch den Abbildungsgrad vermittelte Bijektion sogar einen Gruppenisomorphismus ${\displaystyle deg:(\pi _{n}S^{n},*)\simeq (\mathbb {Z} ,+)}$ der n-ten Homotopiegruppe der n-Sphäre auf die Gruppe der ganzen Zahlen vermittelt.[7]

Weiterhin ergibt s​ich i. V. m. d​er Multiplikationsregel für d​en Abbildungsgrad[8] d​as folgende Korollar:

Für zwei stetige Abbildungen   ${\displaystyle f_{1},f_{2}}$   der n-Sphäre in sich selbst sind die verketteten Funktionen   ${\displaystyle f_{1}\circ f_{2}}$   und   ${\displaystyle f_{2}\circ f_{1}}$   stets homotop.[9]

Literatur

Originalarbeiten

• Heinz Hopf: Abbildungsklassen n-dimensionaler Mannigfaltigkeiten. In: Math. Ann. Band 96, 1927, S. 209–224 (maths.ed.ac.uk [PDF; 1,5 MB]).
• Luitzen Egbertus Jan Brouwer: Abbildung von Mannigfaltigkeiten. In: Math. Ann. Band 71, 1912, S. 97–115 (digizeitschriften.de).

Monographien

• Glen E. Bredon: Topology and Geometry (= Graduate texts in mathematics. Band 139). Springer-Verlag, New York [u. a.] 1993, ISBN 3-540-97926-3.
• Theodor Bröcker, Tammo tom Dieck: Kobordismentheorie (= Lecture Notes in Mathematics. Band 178). Springer-Verlag, Berlin [u. a.] 1970, ISBN 3-540-05341-7.
• James Dugundji: Topology. 8. Auflage. Allyn and Bacon, Boston 1973.
• Egbert Harzheim: Einführung in die Kombinatorische Topologie (= Die Mathematik. Einführungen in Gegenstand und Ergebnisse ihrer Teilgebiete und Nachbarwissenschaften). Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1978, ISBN 3-534-07016-X (MR0533264).
• Horst Schubert: Topologie. 4. Auflage. B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6 (MR0423277).
• Tammo tom Dieck: Topologie. 2., völlig neu bearb. und erw. Auflage. De Gruyter, Berlin [u. a.] 2000, ISBN 3-11-016236-9.

Einzelnachweise

1. Heinz Hopf: Abbildungsklassen n-dimensionaler Mannigfaltigkeiten. In: Math. Ann. Band 96, S. 209 ff.
2. Schubert: S. 289–290.
3. Dabei wird als wesentliches Werkzeug die sogenannte Pontrjagin-Thom-Konstruktion benutzt; vgl. Kapitel II, Abschnitt 16 bei Bredon: S. 118 ff. sowie Kapitel III bei Bröcker / tom Dieck: S. 24 ff.
4. tom Dieck: S. 284–285.
5. Dugundji: S. 352.
6. Harzheim: S. 169.
7. Bredon: S. 124.
8. Harzheim: S. 168, 136.
9. Harzheim: S. 169.