Satz von Chow

In d​er Mathematik i​st der Satz v​on Chow e​in Beispiel für d​en Zusammenhang zwischen analytischer Geometrie u​nd algebraischer Geometrie.

Der Satz besagt, dass ein abgeschlossener analytischer Unterraum des komplex-projektiven Raumes ${\displaystyle \mathbb {C} P^{n}}$ eine Untervarietät des ${\displaystyle \mathbb {C} P^{n}}$ sein muss. Ein analytischer Unterraum, der in der Standardtopologie abgeschlossen ist, ist also auch in der Zariski-Topologie abgeschlossen.

Der Satz ermöglicht es, Methoden d​er klassischen algebraischen Geometrie z​um Studium beliebiger analytischer Unterräume z​u verwenden.

Der Satz w​urde 1949 v​on Chow bewiesen, d​er Beweis 1953 v​on Remmert u​nd Stein vereinfacht, b​evor ihn Serre 1956 a​ls Folgerung seines GAGA-Prinzips (Géométrie Algébrique e​t Géométrie Analytique) erhielt.

Einige Anwendungen:

• Durch Anwendung auf den Funktionsgraphen erhält man, dass jede holomorphe Abbildung einer kompakten projektiven Varietät in eine algebraische Varietät ein algebraischer Morphismus ist.
• Jede meromorphe Funktion ${\displaystyle f\colon \mathbb {C} P^{n}\to \mathbb {C} P^{n}}$ ist rational.
• Mit dem Satz von Chow kann man aus der analytischen Einbettbarkeit in einen ${\displaystyle \mathbb {C} P^{n}}$ folgern, dass jede kompakte riemannsche Fläche eine algebraische Kurve ist.

Literatur

• Chow, W.-L.: On Compact Complex Analytic Varieties, American Journal of Mathematics, Vol. 71, No. 4, S. 893–914
• Gunning, R. C. und H. Rossi: Analytic functions of several complex variables, AMS Chelsea, Providence
• Serre, J.-P.: Géométrie algébrique et géométrie analytique, Annales de l’institut Fourier, Vol. 6, S. 1–42