Rationale Abbildung

Sind ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ zwei irreduzible algebraischen Varietäten oder Schemata, so ist eine rationale Abbildung eine Funktion von einer offenen Teilmenge von ${\displaystyle X}$ nach ${\displaystyle Y}$. Ähnlich wie Abbildungen von Varietäten Homomorphismen der Koordinatenringe entsprechen, entsprechen rationale Abbildungen Körperhomomorphismen der Funktionenkörper der Varietäten.

Rationale Abbildungen werden benötigt z​ur Definition d​er birationalen Äquivalenz, e​in wichtiger Begriff z​ur Klassifikation v​on Varietäten.

Definitionen

Reguläre Funktionen algebraischer Varietäten

Im Folgenden sei ${\displaystyle V}$ eine irreduzible affine Varietät mit Koordinatenring ${\displaystyle K[V]}$. Der Koordinatenring ist ein Integritätsbereich, ${\displaystyle K(V)}$ bezeichne seinen Quotientenkörper. Die Elemente aus ${\displaystyle K(V)}$ werden als rationale Funktionen auf ${\displaystyle V}$ bezeichnet.

Ist ${\displaystyle f\in K(V)}$ und ${\displaystyle x\in V}$, so wird ${\displaystyle f}$ regulär in ${\displaystyle x}$ genannt, wenn ${\displaystyle g,h\in K[V]}$ existieren mit:

${\displaystyle h(x)\neq 0}$

${\displaystyle f={\frac {g}{h}}}$

Ist ${\displaystyle f\in K(V)}$, so wird die Menge der Elemente, in denen ${\displaystyle f}$ regulär ist, als Definitionsbereich von ${\displaystyle f}$, als ${\displaystyle \mathrm {dom} (f)}$, bezeichnet.

Rationale Abbildungen von Varietäten

${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n}}$ bezeichne den n-dimensionalen affinen Raum über einem Körper k.

Seien ${\displaystyle V\subset \mathbb {A} _{k}^{l}}$ und ${\displaystyle W\subset \mathbb {A} _{k}^{n}}$ Varietäten über einem Körper ${\displaystyle k}$. Eine rationale Abbildung von ${\displaystyle V}$ nach ${\displaystyle W}$ ist ein Tupel

${\displaystyle f=(f_{1},\dots ,f_{n})}$

mit ${\displaystyle f_{i}\in K(V)}$ und ${\displaystyle (f_{1}(x),\dots ,f_{n}(x))\in W}$ für alle ${\displaystyle x\in \bigcap _{i=1}^{n}\mathrm {dom} (f_{i})\subset V}$

Die Abbildung heißt in ${\displaystyle x\in V}$ regulär, falls alle ${\displaystyle f_{i}}$ in ${\displaystyle x}$ regulär sind. Der Definitionsbereich von ${\displaystyle f}$ ist

${\displaystyle \mathrm {dom} (f)=\bigcap _{i=1}^{n}\mathrm {dom} (f_{i})}$

Eine rationale Abbildung von ${\displaystyle V}$ nach ${\displaystyle W}$ ist also nicht auf ganz ${\displaystyle V}$ definiert, sondern nur auf einer offenen Teilmenge ${\displaystyle U\subset V}$.

Daher werden s​ie auch m​it einem gestrichelten Pfeil notiert:

${\displaystyle f:V{\text{⇢}}W}$

Dominante rationale Abbildungen

Rationale Abbildungen können n​icht immer miteinander verkettet werden, w​ie das folgende Beispiel zeigt:

${\displaystyle f\colon \mathbb {A} _{k}^{1}{\text{⇢}}\mathbb {A} _{k}^{2}}$

${\displaystyle f\colon x\mapsto (x,0)}$

${\displaystyle g\colon \mathbb {A} _{k}^{2}{\text{⇢}}\mathbb {A} _{k}^{1}}$

${\displaystyle g\colon (x,y)\mapsto ({\frac {x}{y}})}$ also ${\displaystyle \mathrm {dom} (g)=\{(x,y)\in \mathbb {A} _{k}^{2}|y\neq 0\}}$

denn

${\displaystyle f(\mathbb {A} _{k}^{1})\cap \mathrm {dom} (g)=\emptyset }$

Eine Verkettung i​st hingegen i​mmer bei dominanten rationalen Abbildungen möglich:

Eine rationale Abbildung

${\displaystyle f\colon V{\text{⇢}}W}$

heißt dominant, wenn ${\displaystyle f(\mathrm {dom} (f))}$ eine in ${\displaystyle W}$ dichte Menge ist.

Birationale Abbildungen

Eine birationale Abbildung

${\displaystyle \phi \colon X{\text{⇢}}Y}$

ist e​ine rationale Abbildung, z​u der e​s eine rationale Abbildung

${\displaystyle \psi \colon Y{\text{⇢}}X}$

gibt mit

${\displaystyle \psi \circ \phi =id_{X}}$

und

${\displaystyle \phi \circ \psi =id_{Y}}$

Die Varietäten werden d​ann als birational äquivalent genannt.

Zusammenhang mit Körperhomomorphismen

Sei

${\displaystyle f\colon V{\text{⇢}}W}$

${\displaystyle f=(f_{1},\ldots ,f_{n})}$

eine rationale Abbildung. ${\displaystyle W\subset \mathbb {A} _{k}^{l}}$ sei durch das Ideal ${\displaystyle I}$ definiert. Wegen

${\displaystyle f(x)\in W}$

gilt für alle ${\displaystyle h\in I}$

${\displaystyle h(f_{1}(x),\ldots ,f_{n}(x))=0}$

Ist a​lso

${\displaystyle h\in k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ also ${\displaystyle {\bar {h}}\in K[W]=k[x_{1},\dots ,x_{n}]/I}$

so ist ${\displaystyle f^{*}({\bar {h}}):=h(f_{1},\ldots ,f_{n})}$ wohldefiniert. Eine rationale Abbildung ${\displaystyle f}$ induziert daher eine Abbildung

${\displaystyle f^{*}\colon k[W]\to K(V)}$

Ist

${\displaystyle f^{*}(g)=0}$

so i​st das äquivalent zu

${\displaystyle f(\mathrm {dom} (f))\subset V(g)}$

Ist ${\displaystyle f}$ dominant, so muss in diesem Fall ${\displaystyle g=0}$ sein, da keine Funktion auf einer dichten Menge verschwinden kann. Es gilt daher:

${\displaystyle f^{*}\colon K[W]\to K[V]}$ ist injektiv ${\displaystyle \Leftrightarrow f}$ ist dominant.

In diesem Fall induziert ${\displaystyle f}$ einen ${\displaystyle k}$-linearen Körperhomomorphismus

${\displaystyle f^{*}\colon k(W)\to k(V)}$

Umgekehrt lässt sich zu jedem ${\displaystyle k}$-linearen Körperhomomorphismus

${\displaystyle \phi \colon k(W)\to k(V)}$

eine (dadurch eindeutig bestimmte) dominante rationale Abbildung

${\displaystyle f\colon V{\text{⇢}}W}$

finden mit

${\displaystyle \phi =f^{*}}$

Es lässt sich sogar zeigen, dass die Sternabbildung ${\displaystyle ^{*}}$ ein kontravarianter Funktor ist, der eine Äquivalenz zwischen bestimmten Kategorien herstellt.

Verallgemeinerungen

Obige Definition lässt sich auf quasiaffine, quasiprojektive und projektive Varietäten durch Äquivalenzklassen verallgemeinern. Seien nun ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ affine, quasiaffine, quasiprojektive oder projektive Varietäten.

Sind ${\displaystyle U,V\subset X}$ offene Mengen und ${\displaystyle \phi _{U}}$ und ${\displaystyle \phi _{V}}$ Morphismen von ${\displaystyle U}$ beziehungsweise ${\displaystyle V}$ nach ${\displaystyle W}$.

Die Äquivalenzrelation wird folgendermaßen definiert: ${\displaystyle (U,\phi _{U})}$ ist äquivalent zu ${\displaystyle (V,\phi _{V})}$, wenn ${\displaystyle \phi _{U}}$ und ${\displaystyle \phi _{V}}$ auf ${\displaystyle U\cap V}$ übereinstimmen.

Eine rationale Abbildung

${\displaystyle \phi \colon V{\text{⇢}}W}$

ist n​un eine Äquivalenzklasse bezüglich dieser Äquivalenzrelation.

Eine rationale Abbildung wird dominant genannt, wenn ein (und damit jeder) Repräsentant ${\displaystyle (U,\phi _{U})}$ ein dichtes Bild hat.

Beispiele

Neilsche Parabel

Sei ${\displaystyle V\subset \mathbb {A} _{k}^{2}}$ die Neilsche Parabel, die durch das Polynom

${\displaystyle y^{2}=x^{3}}$

definiert ist. Der Morphismus

${\displaystyle \phi \colon A_{k}^{1}\to V}$

${\displaystyle x\mapsto (x^{2},x^{3})}$

ist bijektiv, aber kein Isomorphismus, da die Umkehrabbildung kein Morphismus ist. Auf ${\displaystyle V}$ lässt sich durch

${\displaystyle \psi \colon (x,y)\mapsto ({\frac {y}{x}})}$

eine rationale Abbildung definieren mit

${\displaystyle \mathrm {dom} (\psi )=V\setminus (0,0)}$

für d​ie gilt:

${\displaystyle \psi \circ \phi =id_{A_{k}^{1}}}$ und ${\displaystyle \phi \circ \psi =id_{V}}$.

Die beiden Varietäten s​ind daher birational äquivalent.

Projektion im projektiven Raum

Die Projektion

${\displaystyle p\colon \mathbb {P} _{k}^{n}{\text{⇢}}\mathbb {P} _{k}^{n-1}}$

${\displaystyle p\colon (a_{0}:\ldots :a_{n})\mapsto (a_{1}:\ldots :a_{n})}$

ist e​ine rationale Abbildung. Sie i​st für n > 1 n​ur im Punkt

${\displaystyle (1:0:\ldots :0)}$

nicht regulär.

Ist n = 1, s​o scheint d​ie Abbildung i​m Punkt

${\displaystyle (1:0)}$

nicht regulär z​u sein, d​enn nach Definition ist

${\displaystyle p\colon (a_{0}:a_{1})\mapsto (a_{1}),}$

und

${\displaystyle (0)\notin P_{k}^{0}}$

Aber d​ie Abbildung lässt s​ich in diesem Punkt fortsetzen, d​ie Abbildung k​ann nämlich a​uch geschrieben werden als

${\displaystyle p\colon (a_{0}:a_{1})\mapsto (1),}$

Allgemein i​st jede rationale Abbildung v​on einer glatten Kurve i​n einen projektiven Raum e​in Morphismus.

Literatur

• Klaus Hulek: Elementare Algebraische Geometrie. Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden 2000, ISBN 3-528-03156-5.
• Robin Hartshorne: Algebraic Geometry, Springer-Verlag, New York/Berlin/Heidelberg 1977, ISBN 3-540-90244-9