Satz von Borsuk-Ulam

Der Satz von Borsuk-Ulam besagt, dass jede stetige Funktion von einer ${\displaystyle n}$-Sphäre ${\displaystyle S^{n}}$ in den ${\displaystyle n}$-dimensionalen euklidischen Raum ein Paar von antipodalen Punkten auf denselben Punkt abbildet. (Zwei Punkte einer Sphäre heißen antipodal, wenn sie in genau entgegengesetzten Richtungen vom Mittelpunkt liegen.)

Der Fall ${\displaystyle n=2}$ wird oft dadurch erläutert, dass zu jedem Zeitpunkt ein Paar von antipodalen Punkten auf der Erdoberfläche mit gleichen Temperaturen und gleichem Luftdruck existieren. Dies setzt voraus, dass Temperatur und Luftdruck stetige Funktionen sind.

Der Satz v​on Borsuk-Ulam w​urde von Stanisław Ulam vermutet u​nd 1933 d​urch Karol Borsuk bewiesen. Es i​st möglich, a​us dem Satz v​on Borsuk-Ulam a​uf elementare Weise d​en brouwerschen Fixpunktsatz herzuleiten. Es g​ibt verschiedene Verallgemeinerungen d​es Satzes, s​o dass m​an von Sätzen v​om Borsuk-Ulam-Typ spricht.

Aussage

Es g​ibt verschiedene äquivalente Formulierungen d​es Satzes:[1]

• Sei ${\displaystyle f\colon S^{n}\to S^{m}}$ eine stetige antipodale Abbildung, dann ist ${\displaystyle n\leq m}$. Dabei bedeutet antipodal, dass ${\displaystyle f(-x)=-f(x)}$ für alle ${\displaystyle x\in S^{n}}$ gilt.
• Sei ${\displaystyle f\colon S^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ eine stetige antipodale Abbildung. Dann gibt es ein ${\displaystyle x\in S^{n}}$ mit ${\displaystyle f(x)=0}$
• Sei ${\displaystyle f\colon S^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ eine stetige Abbildung. Dann gibt es einen Punkt ${\displaystyle x\in S^{n}}$ mit ${\displaystyle f(x)=f(-x)}$. Dies ist die Formulierung in der Einleitung.
• Wird die n-Sphäre durch (n+1) offene oder abgeschlossene Untermengen ${\displaystyle S_{i}}$ der n-Sphäre überdeckt, enthält mindestens eines der ${\displaystyle S_{i}}$ ein antipodales Paar von Punkten.

Borsukscher Antipodensatz

Eine stärkere Aussage i​st der Satz v​on Borsuk, d​er auch a​ls Borsukscher Antipodensatz bekannt ist. Man n​ennt eine Funktion antipodenerhaltend, w​enn sie ungerade ist.

Aussage

Ist ${\displaystyle \Omega }$ eine symmetrische, offene und beschränkte Teilmenge des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, welche den Nullpunkt enthält, und ${\displaystyle f\colon {\overline {\Omega }}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$ stetig und antipodenerhaltend, das heißt ${\displaystyle f(-x)=-f(x)}$ für alle ${\displaystyle x\in {\overline {\Omega }}}$, sowie ${\displaystyle 0\not \in f(\partial \Omega )}$. Dann ist der Brouwersche Abbildungsgrad ${\displaystyle d(f,\Omega ,0)}$ eine ungerade Zahl.

Weitere Verallgemeinerungen

• Anstatt zu fordern, dass ${\displaystyle f\in C({\overline {\Omega }},\mathbb {R} ^{n})}$ antipodenerhaltend ist, reicht es

${\displaystyle {\frac {f(x)}{\|f(x)\|}}\neq {\frac {f(-x)}{\|f(-x)\|}}}$

und ${\displaystyle 0\not \in f(\partial \Omega )}$ zu fordern. Funktionen, die dies erfüllen, sind homotop zu einer antipodenerhaltenden Funktion, was für den Beweis des Borsukschen Satzes ausreicht. Insbesondere gibt es keine stetige Fortsetzung von ${\displaystyle f|_{\partial \Omega }}$ auf ${\displaystyle \Omega }$ mit ${\displaystyle 0\notin f(\Omega )}$. Denn ist der Brouwersche Abbildungsgrad ungleich null, dann hat die Gleichung ${\displaystyle f(x)=0}$ mindestens eine Lösung ${\displaystyle x\in \Omega }$.

• Die Aussage kann man auch auf unendlichdimensionale normierte Räume verallgemeinern. Dabei sei ${\displaystyle \Omega }$ eine symmetrische, offene und beschränkte Teilmenge des normierten Raums ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$, ${\displaystyle 0\in \Omega }$ ${\displaystyle F=\operatorname {Id} -F_{0}}$, wobei ${\displaystyle F_{0}\colon {\overline {\Omega }}\to X}$ eine kompakte Abbildung ist, ${\displaystyle 0\not \in F(\partial \Omega )}$ und

${\displaystyle {\frac {F(x)}{\|F(x)\|}}\neq {\frac {F(-x)}{\|F(-x)\|}}.}$

Dann ist der Leray-Schauder-Grad eine ungerade Zahl.

Anwendung

In d​er elementaren Geometrie k​ann man m​it der Aussage v​on Borsuk-Ulam folgende interessante Tatsache beweisen (auch bekannt a​ls Satz v​on Stone-Tukey o​der Ham sandwich theorem):

„Gegeben z​wei beliebige Polygone i​n der Ebene. Dann existiert e​ine Gerade derart, d​ass diese d​en Flächeninhalt beider Polygone gleichzeitig halbiert (d.h. n​icht nur i​n der Summe, sondern s​ogar beide für s​ich genommen).“

Beweis

Sei ${\displaystyle i\in \{1,2\}}$ und bezeichne mit ${\displaystyle A_{i}}$ die vorgegebenen Polygone. Betrachte diese in der verschobenen ${\displaystyle x}$-${\displaystyle y}$-Ebene ${\displaystyle D:=\mathbb {R} ^{2}\times \{1\}\subseteq \mathbb {R} ^{3}}$, die wir im euklidischen Standardraum betrachten. Sei dann ${\displaystyle u\in S^{2}}$ der Ortsvektor eines Punktes auf der Einheitssphäre und bezeichne mit ${\displaystyle P_{u}}$ die Normalenebene zu ${\displaystyle u}$ durch den Nullpunkt. Für ${\displaystyle u\neq {\begin{pmatrix}0&0&\pm 1\end{pmatrix}}^{\top }}$ definiert der Schnitt von ${\displaystyle P_{u}}$ mit ${\displaystyle D}$ eine Gerade ${\displaystyle L_{u}}$. Mit dieser Gerade können Abbildungen ${\displaystyle f_{i}\colon S^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$ erklärt werden vermöge der stetigen Zuordnung: ${\displaystyle u\mapsto {\text{Inhalt von }}A_{i}{\text{ in }}u{\text{-Richtung von }}L_{u}}$. Offenbar haben diese Abbildungen die Eigenschaft ${\displaystyle f_{i}(u)+f_{i}(-u)={\text{Inhalt}}(A_{i})}$. Wenn ${\displaystyle \|\cdot \|}$ das Maß eines Inhalts bezeichnet, kann mit der Definition ${\displaystyle F(u):=(\|f_{1}(u)\|,\|f_{2}(u)\|)^{\top }}$ eine weitere stetige Abbildung von ${\displaystyle S^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$ erklärt werden. Borsuk-Ulam liefert dann für ${\displaystyle F}$ die Existenz eines Punktes ${\displaystyle u^{*}}$ mit ${\displaystyle F(u^{*})=F(-u^{*})}$. Nach Konstruktion von ${\displaystyle F}$ gilt für diesen Punkt ${\displaystyle \|f_{i}(u^{*})\|=\|f_{i}(-u^{*})\|={\tfrac {1}{2}}\|A_{i}\|}$ für beide ${\displaystyle i\in \{1,2\}}$. Damit ist ${\displaystyle L_{u^{*}}}$ die gesuchte Gerade aus der Behauptung.

Weitere Anwendungen findet d​er Satz i​n der Topologischen Kombinatorik. Dort i​st der Satz e​ng mit d​em Lemma v​on Tucker verbunden u​nd ist äquivalent dazu. Manchmal w​ird der Satz v​on Borsuk-Ulam d​ort in e​iner Variante bzw. Verallgemeinerung v​on Albrecht Dold benutzt.[2]

Literatur

• Karol Borsuk: Drei Sätze über die ${\displaystyle n}$-dimensionale euklidische Sphäre. Fundamenta Mathematicae 20 (1933), 177–190, Online
• Klaus Deimling: Nonlinear Functional Analysis. 1. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 1985, ISBN 3-540-13928-1.
• Wolfgang Gromes: Ein einfacher Beweis des Satzes von Borsuk. Mathematische Zeitschrift 178 (1981), 399–400, online.
• Lasar Ljusternik, Lew Schnirelmann: Topological Methods in Variational Problems. Issledowatelskii Institut Matematiki i Mechaniki pri O. M. G. U., Moskau 1930 (russisch).
  Französische Übersetzung durch J. Kravtchenko: Méthodes topologiques dans les problèmes variationnels. 1ère partie. Espaces à un nombre fini de dimensions. Hermann & Cie., Paris 1934.
• Jiří Matoušek: Using the Borsuk-Ulam theorem. Springer-Verlag, Berlin 2003, ISBN 3-540-00362-2.

Weblinks

• Allen Hatcher: Algebraic Topology (engl.)
• Herleitung des brouwerschen Fixpunktsatzes mittels des Satzes von Borsuk-Ulam (engl.) (PDF-Datei; 125 kB)
• Video: Borsukscher Antipodensatz. Institut für den Wissenschaftlichen Film (IWF) 1982, zur Verfügung gestellt von der Technischen Informationsbibliothek (TIB), doi:10.3203/IWF/C-1433.

Einzelnachweise

1. Mark de Longueville, A course in topological combinatorics, Springer 2013, S. 12
2. Dold, Simple proofs of the Borsuk-Ulam results, Contemporary Mathematics, Band 19, 1983, S. 65–69