Satz von Bernstein-Doetsch

Der Satz v​on Bernstein-Doetsch i​st ein Lehrsatz d​es mathematischen Teilgebiets d​er Analysis, d​er auf e​ine Arbeit d​er beiden Mathematiker Felix Bernstein u​nd Gustav Doetsch a​us dem Jahre 1915 zurückgeht. Der Satz g​ibt eine hinreichende Bedingung, u​nter der gewisse konvexe Funktionen d​es euklidischen Raums bereits stetig sind.[1][2]

Formulierung des Satzes

Der Satz v​on Bernstein-Doetsch lässt s​ich angeben w​ie folgt:[2][1]

Sei ${\displaystyle \Omega }$ eine konvexe und zugleich offene Teilmenge des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\;(n\in \mathbb {N} )}$.

Sei ${\displaystyle f\colon \Omega \to \mathbb {R} }$ eine Jensen-konvexe Funktion, also eine reellwertige Funktion, welche der Bedingung

${\displaystyle f\left({\frac {x+y}{2}}\right)\leq {\frac {f(x)+f(y)}{2}}}$

für alle ${\displaystyle x,y\in \Omega }$ genügen möge.

Weiter gebe es mindestens einen Punkt ${\displaystyle x_{0}\in \Omega }$ derart, dass für eine offene Umgebung ${\displaystyle U(x_{0})\subseteq \Omega }$ die Einschränkung ${\displaystyle f|_{U(x_{0})}}$ nach oben beschränkt sei.

Dann gilt:

${\displaystyle f}$ ist in jedem Punkt von ${\displaystyle \Omega }$ stetig.

Historische Anmerkung

Johan Ludwig Jensen h​at schon i​m Jahre 1906 e​in Vorläuferresultat z​um Satz v​on Bernstein-Doetsch geliefert, i​ndem er nämlich zeigte, d​ass der entsprechende Sachverhalt für konvexe Funktionen a​uf offenen reellen Intervallen gilt.[3]

Folgerungen

Der Satz v​on Bernstein-Doetsch z​ieht unmittelbar d​as folgende Korollar n​ach sich:[4]

Eine auf einer offenen und konvexen Teilmenge des euklidischen Raums gegebene Jensen-konvexe Funktion ist entweder stetig oder in jedem Punkt unstetig.

Darüber hinaus gewinnt m​an mit d​em Satz v​on Bernstein-Doetsch d​as folgende grundlegende Resultat, welches d​er polnische Mathematiker Marek Kuczma i​n seiner bekannten Monographie An Introduction t​o the Theory o​f Functional Equations a​nd Inequalities a​ls The b​asic theorem betitelt. Dieses besagt:[5]

Ist ${\displaystyle f\colon \Omega \to \mathbb {R} }$ eine reellwertige Funktion für eine konvexe offene Teilmenge ${\displaystyle \Omega }$ des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\;(n\in \mathbb {N} )}$, so ist ${\displaystyle f}$ sowohl Jensen-konvex als auch stetig genau dann,

wenn für je zwei Punkte ${\displaystyle x,y\in \Omega }$ und jede reelle Zahl ${\displaystyle \lambda \in [0,1]}$ stets die Ungleichung

${\displaystyle f\left(\lambda x+(1-\lambda )y\right)\leq \lambda f(x)+(1-\lambda )f(y)}$

erfüllt ist.

Die Sätze von Sierpiński und Fréchet

Auf d​en polnischen Mathematiker Wacław Sierpiński g​eht ein Satz zurück, dessen Fragestellung d​er des Satzes v​on Bernstein-Doetsch gleicht, wenngleich dessen Beweis a​uf anderen Methoden beruht. Er lautet:[6][7][8]

Gegeben seien eine konvexe offene Teilmenge ${\displaystyle \Omega }$ des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\;(n\in \mathbb {N} )}$ und darauf eine Jensen-konvexe Funktion ${\displaystyle f\colon \Omega \to \mathbb {R} }$.

Dann gilt:

Ist ${\displaystyle f}$ messbar, so ist ${\displaystyle f}$ bereits stetig.

Der Satz von Sierpiński wiederum führt unmittelbar zu einem Satz, der für den Fall der Dimension ${\displaystyle n=1}$ schon von dem französischen Mathematiker Maurice Fréchet im Jahre 1913 formuliert wurde:[6]

Jede messbare additive Funktion ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ist stetig.

Verwandtes Resultat für normierte Räume

Zum Satz v​on Bernstein-Doetsch g​ibt es e​in verwandtes Resultat, welches d​en Fall d​er konvexen reellwertigen Funktionen a​uf normierten Räumen behandelt. Es lässt s​ich folgendermaßen formulieren:[9]

Gegeben seien ein normierter ${\displaystyle \mathbb {R} }$-Vektorraum ${\displaystyle X}$ und darin eine konvexe offene Teilmenge ${\displaystyle \Omega \subseteq X}$ sowie eine konvexe reellwertige Funktion ${\displaystyle f\colon \Omega \to \mathbb {R} }$.

Dann sind die folgenden Aussagen gleichwertig:

(a) ${\displaystyle f}$ ist stetig.

(b) ${\displaystyle f}$ ist oberhalbstetig.

(c) Es gibt eine nichtleere offene Teilmenge ${\displaystyle U_{0}\subseteq \Omega }$ derart, dass ${\displaystyle f|_{U_{0}}}$ nach oben beschränkt ist.

(d) Es gibt mindestens einen Punkt ${\displaystyle x_{0}\in \Omega }$, in dem ${\displaystyle f}$ stetig ist.

Ist ${\displaystyle X}$ darüber hinaus ein Banachraum, so sind sogar gleichwertig:

(a') ${\displaystyle f}$ ist stetig.

(b') ${\displaystyle f}$ ist oberhalbstetig.

(c') ${\displaystyle f}$ ist unterhalbstetig.

Literatur

• F. Bernstein und G. Doetsch: Zur Theorie der konvexen Funktionen. In: Mathematische Annalen. Band 76, 1915, S. 514–526, doi:10.1007/BF01458222 (MR1511840).
• Maurice Fréchet: Pri la fukncia equacio f(x+y) = f(x) + f(y). In: Enseignement Math. Band 15, 1913, S. 390–393.
• Maurice Fréchet: A propos d'un article sur l'équation fonctionelle f(x+y) = f(x) + f(y). In: Enseignement Math. Band 16, 1914, S. 136.
• J. L. W. V. Jensen: Sur les fonctions convexes et les inégalités entre les valeurs moyennes. In: Acta Mathematica. Band 30, 1906, S. 175–193 (MR1555027).
• Peter Kosmol: Optimierung und Approximation (= De Gruyter Studium). 2. Auflage. Walter de Gruyter & Co., Berlin 2010, ISBN 978-3-11-021814-5 (MR2599674).
• Marek Kuczma: An Introduction to the Theory of Functional Equations and Inequalities. Cauchy's Equation and Jensen's Inequality. 2. Auflage. Birkhäuser Verlag, Basel 2009, ISBN 978-3-7643-8748-8 (MR2467621).
• Wacław Sierpiński: Sur un problème concernant les ensembles mesurables superficiellement. In: Fundamenta Mathematicae. Band 1, 1920, S. 112–115 (->Weblink).
• Wacław Sierpiński: Sur les fonctions convexes mesurables. In: Fundamenta Mathematicae. Band 1, 1920, S. 125–128 (->Weblink).

Einzelnachweise

1. F. Bernstein, G. Doetsch: Zur Theorie der konvexen Funktionen. in: Math. Ann. 76, S. 514–526
2. Marek Kuczma: An Introduction to the Theory of Functional Equations and Inequalities. 2009, S. 155 ff
3. Bernstein/Doetsch, op. cit., S. 514
4. Kuczma. op. cit., S. 158
5. Kuczma. op. cit., S. 161–162
6. Kuczma. op. cit., S. 241 ff
7. W. Sierpiński: Sur un problème concernant les ensembles mesurables superficiellement . in: Fund. Math. 1, S. 112–115
8. Sierpiński, op. cit., S. 125–128
9. Peter Kosmol: Optimierung und Approximation. 2010, S. 328 ff., S. 331 ff.