Satz von Lehmann-Scheffé

Der Satz v​on Lehmann-Scheffé i​st ein zentrales Resultat d​er Schätztheorie, e​inem Teilgebiet d​er mathematischen Statistik. Die a​uf dem Satz v​on Rao-Blackwell aufbauende Aussage liefert Kriterien, u​nter denen erwartungstreue Punktschätzer a​uch gleichmäßig b​este erwartungstreue Schätzer sind, a​lso eine geringere Varianz a​ls alle weiteren erwartungstreuen Schätzer besitzen.

Der Satz i​st nach Erich Leo Lehmann u​nd Henry Scheffé benannt.

Aussage

Der Satz v​on Lehmann-Scheffé lässt s​ich auf unterschiedliche Weisen formulieren, d​ie sich i​n ihrer Notation u​nd den verwendeten Strukturen unterscheiden, inhaltlich a​ber identisch sind.

Für σ-Algebren

Gegeben sei ein statistisches Modell ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},{\mathcal {P}})}$ und sei ${\displaystyle D_{g}}$ die Menge aller erwartungstreuer Schätzer mit endlicher Varianz für die Parameterfunktion ${\displaystyle g}$. Die Unter-σ-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {S}}\subset {\mathcal {A}}}$ sei sowohl suffizient für ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ als auch vollständig für ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{2}(X,{\mathcal {A}},{\mathcal {P}})}$.

Ist ${\displaystyle T\in D_{g}}$, dann ist die Rao-Blackwell-Verbesserung ${\displaystyle T^{+}:=\operatorname {E} _{\bullet }(T|{\mathcal {S}})}$ von ${\displaystyle T}$ bezüglich ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ gleichmäßig bester erwartungstreuer Schätzer für ${\displaystyle g}$. Sprich es gilt

${\displaystyle \operatorname {Var} _{P}(T^{+})\leq \operatorname {Var} _{P}(K)\quad \mathrm {f{\ddot {u}}r\;alle\;} P\in {\mathcal {P}}}$

und alle weiteren ${\displaystyle K\in D_{g}}$.

Für Statistiken

Die Formulierung mittels Statistiken folgt direkt aus der obigen: Die suffiziente, vollständige σ-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ wird durch eine suffiziente, vollständige Statistik ${\displaystyle S}$ ersetzt. Teils wird ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ auch als ${\displaystyle (P_{\vartheta })_{\vartheta \in \Theta }}$ notiert. Dies bedeutet nicht, dass die Aussage nur für parametrische Modelle gilt. Voll ausformuliert lautet die Aussage dann: ${\displaystyle T^{+}:=\operatorname {E} _{\bullet }(T|S)}$ ist ein gleichmäßig bester erwartungstreuer Schätzer für ${\displaystyle g}$, sprich es ist

${\displaystyle \operatorname {Var} _{\vartheta }(T^{+})\leq \operatorname {Var} _{\vartheta }(K)\quad \mathrm {f{\ddot {u}}r\;alle\;} \vartheta \in \Theta }$

und alle weiteren ${\displaystyle K\in D_{g}}$.

Alternative Formulierungen

Mögliche Umformulierungen d​er obigen Aussagen sind:

• Ist ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ suffizient und vollständig für ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{2}(X,{\mathcal {A}},{\mathcal {P}})}$ und ist ${\displaystyle T\in {\mathcal {L}}^{2}(X,{\mathcal {S}},{\mathcal {P}})\cap D_{g}}$, so ist ${\displaystyle T}$ gleichmäßig bester erwartungstreuer Schätzer für ${\displaystyle g}$.
• Ist ${\displaystyle T}$ eine vollständige suffiziente Statistik und existiert ein ${\displaystyle h}$, so dass ${\displaystyle h\circ T}$ ein erwartungstreuer Schätzer für ${\displaystyle g}$ ist, so ist ${\displaystyle h\circ T}$ ein gleichmäßig bester erwartungstreuer Schätzer für ${\displaystyle g}$. Dies gilt, da ${\displaystyle \operatorname {E} _{\bullet }(h\circ T|T)=h\circ T}$. Setzt man nun in der obigen Aussage ${\displaystyle S=h\circ T}$, so folgt diese Formulierung.

Verallgemeinerungen

Eine Spezialisierung d​es Satzes v​on Lehmann-Scheffé i​st der Satz v​on Barankin u​nd Stein, d​er die Struktur lokal minimaler Schätzer beschreibt.

Literatur

• Ludger Rüschendorf: Mathematische Statistik. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, doi:10.1007/978-3-642-41997-3.
• Claudia Czado, Thorsten Schmidt: Mathematische Statistik. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-17260-1, doi:10.1007/978-3-642-17261-8.