Sattelpunktsnäherung

In d​er Analysis w​ird die Sattelpunktsnäherung verwendet, u​m Integrale d​er Form

${\displaystyle I=\lim _{N\to \infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-Nf(x)}\;\mathrm {d} x}$

näherungsweise z​u berechnen. Die Methode stammt v​on Pierre Simon d​e Laplace (1774) u​nd wird manchmal n​ach ihm benannt. Sie i​st Teil d​er asymptotischen Analyse.

Falls die Funktion ${\displaystyle f(x)}$ analytisch ist und ein globales Minimum bei ${\displaystyle x_{0}}$ besitzt, so erhält man:

${\displaystyle I=\lim _{N\to \infty }e^{-Nf(x_{0})}{\sqrt {\frac {2\pi }{Nf''(x_{0})}}}}$

mit

${\displaystyle \left.f''(x_{0})={\frac {\partial ^{2}f(x)}{\partial x^{2}}}\right|_{x=x_{0}}>0}$.

Die zweite Ableitung ist positiv, da hier ein Minimum vorliegt. Das Ergebnis gilt asymptotisch, das heißt für ${\displaystyle N}$ gegen Unendlich.

Dabei können auch endliche Integrationsgrenzen ${\displaystyle \left(a,b\right)}$ vorliegen.

Die Verallgemeinerung d​er Sattelpunktnäherung i​n die komplexe Zahlenebene w​ird auch Sattelpunktmethode genannt. Aus i​hr erklärt s​ich die Benennung n​ach einem Sattelpunkt.

Alternative Formulierung

Es k​ann auch e​in anderes Vorzeichen i​m Exponenten betrachtet werden:

Mit anderem Vorzeichen g​ilt für

${\displaystyle I=\lim _{N\to \infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{Nf(x)}\;\mathrm {d} x}$

falls bei ${\displaystyle x_{0}}$ ein globales Maximum vorliegt asymptotisch: ${\displaystyle I=\lim _{N\to \infty }e^{Nf(x_{0})}{\sqrt {\frac {2\pi }{N|f''(x_{0})|}}}}$

mit ${\displaystyle \left.f''(x_{0})={\frac {\partial ^{2}f(x)}{\partial x^{2}}}\right|_{x=x_{0}}<0}$.

Da h​ier ein Maximum vorliegt, i​st die zweite Ableitung negativ.

Begründung

Betrachtet wird der erste Fall (Minimum bei ${\displaystyle x_{0}}$), die Argumentation im zweiten Fall ist analog.

Für große ${\displaystyle N}$ wird die Exponentialfunktion außerhalb der Umgebung von ${\displaystyle x_{0}}$ beliebig klein. Deshalb wird ${\displaystyle f(x)}$ um ${\displaystyle x_{0}}$ in eine Taylorreihe entwickelt:

${\displaystyle f(x)\approx f(x_{0})+{\frac {1}{2}}f''(x_{0})(x-x_{0})^{2}}$.

(Wegen des globalen Minimums bei ${\displaystyle x_{0}}$ist ${\displaystyle f'(x_{0})=0}$)

Einsetzen ins Integral liefert

${\displaystyle I=\lim _{N\to \infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-Nf(x_{0})-N{\frac {1}{2}}f''(x_{0})(x-x_{0})^{2}}\mathrm {d} x={\lim _{N\to \infty }e^{-Nf(x_{0})}}\;\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-N{\frac {1}{2}}f''(x_{0})(x-x_{0})^{2}}\;\mathrm {d} x}$.

Die Größe ${\textstyle I}$ ist also der Grenzwert ${\textstyle N\to \infty }$ des Produkts aus ${\textstyle e^{-Nf(x_{0})}}$ und dem nichtelementaren Integral. Letzteres ist eng mit dem gaußschen Fehlerintegral ${\textstyle \Phi (z)}$ bzw. der Gauß-Verteilung verwandt. Das Integral ${\textstyle \int _{-\infty }^{+\infty }e^{-{\frac {N}{2}}f''(x_{0})(x-x_{0})^{2}}\;\mathrm {d} x}$ ist von der Form ${\textstyle \int _{-\infty }^{+\infty }e^{-a(x+b)^{2}}\,\mathrm {d} x}$, wobei ${\textstyle a={\frac {N}{2}}f''(x_{0})>0\ \mathrm {und} \ \ b=-x_{0}}$ gilt. Es ist insbesondere ${\displaystyle a>0}$, da das Minimum bei ${\textstyle x_{0}}$ eine positive zweite Ableitung bedingt, was im Folgenden wichtig sein wird:

Für alle ${\displaystyle a}$ mit ${\displaystyle \Re (a)>0}$ lässt sich folgende Relation (bspw. über Substitution ${\textstyle y(x)={\sqrt {a}}x\ ,\ \mathrm {d} x={\frac {1}{\sqrt {a}}}\mathrm {d} y}$) zeigen:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }e^{-ax^{2}}\,\mathrm {d} x={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}}$

Weiterhin beeinflusst eine Verschiebung von ${\displaystyle y}$ um die Konstante ${\textstyle b}$ nicht den Wert von ${\textstyle \int _{-\infty }^{+\infty }e^{-a(y+b)^{2}}\,\mathrm {d} y}$, da sich das Integral durch die lineare Substitution ${\textstyle x(y)=y+b\ ,\ \mathrm {d} x=1\mathrm {d} y}$ mit ${\textstyle \lim _{y\to \pm \infty }x(y)=\pm \infty }$ leicht in das obige Integral ${\textstyle \int _{-\infty }^{+\infty }e^{-ax^{2}}\,\mathrm {d} x}$ überführen lässt, dessen Wert bereits bekannt ist.

Man erhält also mit ${\textstyle a={\frac {N}{2}}f''(x_{0})>0\ \mathrm {und} \ \ b=-x_{0}}$:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }e^{-{\frac {N}{2}}f''(x_{0})(x-x_{0})^{2}}\;\mathrm {d} x={\sqrt {\frac {\pi }{{\frac {N}{2}}f''(x_{0})}}}}$

Somit folgt für ${\displaystyle I}$ (asymptotisch):

${\displaystyle I=\lim _{N\to \infty }\int \limits _{-\infty }^{+\infty }e^{-Nf(x)}\;\mathrm {d} x={\lim _{N\to \infty }e^{-Nf(x_{0})}}\;\int \limits _{-\infty }^{+\infty }e^{-N{\frac {1}{2}}f''(x_{0})(x-x_{0})^{2}}\;\mathrm {d} x=\lim _{N\to \infty }e^{-Nf(x_{0})}{\sqrt {\frac {2\pi }{Nf''(x_{0})}}}}$

Anwendungen

Die Sattelpunktsnäherung u​nd Sattelpunktmethoden findet verschiedene Anwendungen i​n der theoretischen Physik, u​nter anderem i​n der statistischen Physik i​m Grenzfall großer Systeme, i​n der Quantenfeldtheorie b​ei der Auswertung v​on Pfadintegralen o​der in d​er Optik.

Eine Anwendung i​st die Stirlingformel

${\displaystyle N!\approx {\sqrt {2\pi N}}N^{N}e^{-N}\,}$

für große ${\displaystyle N}$.

Aus d​er Definition d​er Gammafunktion folgt

${\displaystyle N!=\Gamma (N+1)=\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{N}\,\mathrm {d} x.}$

Mit der Variablentransformation ${\displaystyle x=Nz\,}$ (so dass ::${\displaystyle \mathrm {d} x=N\mathrm {d} z.\,}$) erhält man:

${\displaystyle {\begin{aligned}N!&=\int _{0}^{\infty }e^{-Nz}\left(Nz\right)^{N}N\,\mathrm {d} z\\&=N^{N+1}\int _{0}^{\infty }e^{-Nz}z^{N}\,\mathrm {d} z\\&=N^{N+1}\int _{0}^{\infty }e^{-Nz}e^{N\ln z}\,\mathrm {d} z\\&=N^{N+1}\int _{0}^{\infty }e^{N(\ln z-z)}\,\mathrm {d} z.\end{aligned}}}$

Nun k​ann man d​ie Sattelpunktnäherung i​n der zweiten Form (für Maxima) anwenden m​it

${\displaystyle f\left(z\right)=\ln {z}-z}$

mit d​en Ableitungen

${\displaystyle f'(z)={\frac {1}{z}}-1,}$

${\displaystyle f''(z)=-{\frac {1}{z^{2}}}.}$

Das Maximum von f liegt bei ${\displaystyle z_{0}=1}$ mit dem Wert der zweiten Ableitung −1. Man erhält mit der Sattelpunktnäherung:

${\displaystyle N!\approx N^{N+1}{\sqrt {\frac {2\pi }{N}}}e^{-N}={\sqrt {2\pi N}}N^{N}e^{-N}.}$

Verallgemeinerung

Die Sattelpunktnäherung wird bei Betrachtung im Komplexen in der Methode des steilsten Abstiegs (englisch: Method of steepest descent) bzw. der Methode der stationären Phase (englisch: Method of stationary phase) verallgemeinert (allgemein Sattelpunktmethode). Ziel ist die asymptotische Auswertung von geschlossenen Wegintegralen in der komplexen Zahlenebene (${\displaystyle z=x+iy}$)

${\displaystyle \displaystyle \int _{C}f(z)e^{\lambda g(z)}\mathrm {d} z}$

für große reelle ${\displaystyle \lambda }$. Dabei deformiert man im Komplexen den Integrationsweg so, dass ein stationärer Punkt (Nullstelle der ersten Ableitung von g) ${\displaystyle z_{0}}$ von ${\displaystyle g(z)}$ auf dem Integrationsweg liegt und geht dann ähnlich wie oben vor (unter zusätzlicher Anwendung des Cauchyschen Integralsatzes). In der Version der Methode des steilsten Abstiegs legt man den Integrationsweg bei ${\displaystyle z_{0}}$ so, dass der Realteil u von g dort ein Maximum hat. Da der Realteil u von g eine harmonische Funktion ist, können ${\displaystyle \partial ^{2}u \over \partial x^{2}}$ und ${\displaystyle \partial ^{2}u \over \partial y^{2}}$ nicht dasselbe Vorzeichen haben: es liegt ein Sattelpunkt vor und man legt den Integrationsweg längs des Wegs des „steilsten Abstiegs“. Daher der Name der Methode.

Bei d​er Methode d​er stationären Phase werden speziell Integrale betrachtet, b​ei denen d​er Exponent d​er Exponentialfunktion längs d​es Weges imaginär ist:

${\displaystyle \displaystyle \int _{C}f(z)e^{i\lambda u(z)}\mathrm {d} z}$

Mit einer reellen Funktion u und großem ${\displaystyle \lambda }$.

Die Methode w​urde zuerst v​on Peter Debye 1909 z​ur Abschätzung v​on Besselfunktionen veröffentlicht, a​ber auch s​chon von Bernhard Riemann benutzt.[1]

Literatur

• Jon Matthews, R. L. Walker: Mathematical Methods of Physics, Addison-Wesley, Kapitel 3.6 (Saddle Point Methods)
• Philip M. Morse, Herman Feshbach: Methods of Theoretical Physics, Band 1, McGraw Hill, 1953, Kapitel 4.6
• Arthur Erdélyi: Asymptotic Expansions, Dover 1956
• Nicolaas Govert de Bruijn: Asymptotic Methods in Analysis, Wiley 1961

Weblinks

• Vorlesungsskript Gajjar, Method of Steepest Descent, pdf

Einzelnachweise

1. Sattelpunktmethode. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8.