SIS-Modell

Als SIS-Model bezeichnet m​an in d​er mathematischen Epidemiologie, e​inem Teilgebiet d​er Theoretischen Biologie, e​inen semi-realistischen Ansatz z​ur Beschreibung d​er Ausbreitung v​on ansteckenden Krankheiten o​hne Immunitätsbildung. Dieser Artikel benutzt d​ie Differentialgleichungen. Ein einführender Artikel m​it elementarer Mathematik findet s​ich bei Mathematische Modellierung d​er Epidemiologie.

Voraussetzungen

Infizierte gehen nach Genesung wieder in die Gruppe der Gesunden über.

Beim SIS-Modell werden zwei Gruppen von Individuen unterschieden: Zum Zeitpunkt ${\displaystyle t}$  bezeichnet ${\displaystyle S(t)}$ die Anzahl der Gesunden (susceptible individuals) und ${\displaystyle I(t)}$ die Zahl der Infizierten (infectious individuals). Weiterhin sei ${\displaystyle N}$ die Gesamtzahl der Individuen. Das SIS-Modell kann dann für Krankheiten verwendet werden, die folgende Eigenschaften aufweisen:

• Jedes Individuum geht nach der Heilung der Krankheit sofort wieder in die Gruppe der Gesunden über und kann erneut angesteckt werden.
• Infizierte sind sofort ansteckend.
• Gesunde erkranken mit der linearen Rate ${\displaystyle c}$.
• Infizierte genesen mit der linearen Rate ${\displaystyle \omega }$.
• Jede Gruppe interagiert miteinander mit derselben Wahrscheinlichkeit. Dies rechtfertigt die Annahme linearer Zusammenhänge.
• Alle Parameter bleiben im biologisch sinnvollen Bereich, also ${\displaystyle S(t),I(t)\in [0,\infty )}$.

Differentialgleichungen des SIS-Modells

Die Ausbreitung d​er betrachteten Krankheit w​ird meist i​n Form v​on gewöhnlichen Differentialgleichungen formuliert:

Verlauf der Zahl der Infizierten und Gesunden.

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} S}{\mathrm {d} t}}&=-cIS+\omega I\\{\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} t}}&=cIS-\omega I.\end{aligned}}}$$

Aus d​en Gleichungen f​olgt die Erhaltung d​er Populationsgröße:

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} N}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\mathrm {d} S}{\mathrm {d} t}}=0\Rightarrow N=I(t)+S(t)={\text{const.}}}$$

Wegen ${\displaystyle S(t)=N-I(t)}$ lässt sich das SIS-Modell vollständig durch

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} t}}=cI(N-I)-\omega I=(cN-\omega )I-cI^{2}}$$

beschreiben. Definiere ${\displaystyle A=cN-\omega }$, wodurch sich die DGL als ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} t}}=(A-cI)I}$ schreiben lässt.

Lösungen der Differentialgleichung

Durch Trennung der Variablen folgt: ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} I}{(A-cI)I}}=\mathrm {d} t}$, woraus durch eine einfache Partialbruchzerlegung und Integration die Funktion ${\displaystyle I(t)}$ mit der Anfangsbedingung ${\displaystyle I(0)=I_{0}>0}$ folgt:

$${\displaystyle I(t)={\frac {AI_{0}e^{At}}{A+cI_{0}\left(e^{At}-1\right)}}.}$$

Die Zahl der Gesunden ${\displaystyle S(t)}$ folgt durch ${\displaystyle S(t)=N-I(t)}$ aus der Lösung für ${\displaystyle I(t)}$.

Analyse der DGLs durch dimensionslose Größen

Zur Vereinfachung der Analyse geht man zu dimensionslosen Größen über: ${\displaystyle u_{1}:={\frac {S}{N}},u_{2}:={\frac {I}{N}},\theta =\omega t,r:={\frac {cN}{\omega }}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {du_{1}}{d\theta }}&=-ru_{1}u_{2}+u_{2}\\{\frac {du_{2}}{d\theta }}&=ru_{1}u_{2}-u_{2}\end{aligned}}}$$

Die Änderung ${\displaystyle {\frac {du_{2}}{d\theta }}}$ kann nach oben abgeschätzt werden durch: ${\displaystyle {\frac {du_{2}}{d\theta }}=ru_{2}-u_{2}=(r-1)u_{2}}$.

Diese vereinfachte Differentialgleichung führt für r < 1 auf einen exponentiellen Abfall, damit verschwindet die Krankheit vollständig aus der Population. Für r > 1 wird auf lange Sicht der Fixpunkt ${\displaystyle ({\frac {1}{r}},1-{\frac {1}{r}})}$ angestrebt. Die Krankheit bleibt verbreitet.

Abgrenzungen zu weiteren Modellen

Neben d​em SIS-Modell g​ibt es i​n der Epidemiologie weitere einfache Modelle, d​ie mit gewöhnlichen Differentialgleichungen beschrieben werden können. Das s​ind insbesondere d​ie folgenden:

• Das SIS-Modell stellt eine Erweiterung zum SI-Modell dar, bei dem Individuen nicht gesunden können.
• Eine alternative Erweiterung ist das SIR-Modell, bei dem Individuen immun gegen die Krankheit werden.

Siehe auch

• SI-Modell (Ansteckung ohne Gesundung)
• SIR-Modell (Ausbreitung von ansteckenden Krankheiten mit Immunitätsbildung)
• SEIR-Modell (Ausbreitung von ansteckenden Krankheiten mit Immunitätsbildung, bei denen Infizierte nicht sofort infektiös sind)
• Basisreproduktionszahl
• Dynamisches System (mathematischer Oberbegriff)

Literatur

• Nicholas F. Britton: Essential Mathematical Biology. Springer
• Sebastian Möhler: Ausbreitung von Infektionskrankheiten. (tu-Freiburg [PDF; abgerufen am 12. März 2020]).