Retardiertes Potential

Das retardierte Potential (deutsch: verzögertes Potential) i​st die Bezeichnung für d​ie mathematische Form d​es Potentials i​n der elektromagnetischen Feldtheorie o​der anderen Feldtheorien, i​n denen s​ich Änderungen d​es Feldes m​it endlicher Geschwindigkeit (Lichtgeschwindigkeit) u​nd nicht instantan ausbreiten. Es t​ritt bei d​er Untersuchung zeitabhängiger Probleme auf, z. B. b​ei der Abstrahlung elektromagnetischer Wellen.

Dagegen werden i​n der Elektrostatik, d​er Magnetostatik u​nd der Newtonschen Gravitationstheorie Zeitabhängigkeiten vernachlässigt.

Mathematische Formulierung

Mathematisch ist das Potential ${\displaystyle \,u(x,t)}$ die Lösung der (aus den Maxwellgleichungen folgenden) inhomogenen Wellengleichung in drei Raumdimensionen

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}\,{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-\sum _{i=1}^{3}\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}^{2}}}\right)={\frac {1}{c^{2}}}\,{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-\Delta u=v(t,x_{1},x_{2},x_{3})\,.}$

wobei auf der rechten Seite ein Quellenterm ${\displaystyle \,v(t,\mathbf {x} )}$ steht. Die Lösung

${\displaystyle u_{\text{retardiert}}(t,\mathbf {x} )={\frac {1}{4\pi }}\int \!\mathrm {d} ^{3}y\,{\frac {v\left(t-{\frac {|\mathbf {x} -\mathbf {y} |}{c}},\mathbf {y} \right)}{|\mathbf {x} -\mathbf {y} |}}}$

heißt retardiertes Potential. Sie hängt am Ort ${\displaystyle \mathbf {x} }$ zur Zeit ${\displaystyle t}$ nur von der Inhomogenität ${\displaystyle v}$ auf dem Rückwärtslichtkegel von ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ab. Die Inhomogenität wirkt sich auf die Lösung verspätet (daher der Name) mit Lichtgeschwindigkeit aus.

Die Lösung

${\displaystyle u_{\text{avanciert}}(t,\mathbf {x} )={\frac {1}{4\pi }}\int \!\mathrm {d} ^{3}y\,{\frac {v\left(t+{\frac {|\mathbf {x} -\mathbf {y} |}{c}},\mathbf {y} \right)}{|\mathbf {x} -\mathbf {y} |}}}$

heißt entsprechend avanciertes Potential. Dies beschreibt z. B. e​ine Senke, d​ie ein bestehendes Feld absorbiert.

Mit retardiertem u​nd avanciertem Potential lassen s​ich somit Emission u​nd Absorption v​on Feldern beschreiben.

Literatur

• Richard Courant und David Hilbert: Methoden der mathematischen Physik Band 2. zweite Auflage, Springer Verlag, 1968

Weblinks

• Norbert Dragon, Stichworte und Ergänzungen zu Rechenmethoden der Physik (PDF; 1,9 MB), Kapitel 18