Rayleigh-Ritz-Prinzip

Das Rayleigh-Ritz-Prinzip (auch Verfahren v​on Ritz o​der Rayleigh-Ritzsches Variationsverfahren) i​st ein Variationsprinzip z​ur Bestimmung d​es kleinsten Eigenwerts e​ines Eigenwertproblems. Es g​eht auf The Theory o​f Sound v​on John William Strutt, 3. Baron Rayleigh (1877) zurück u​nd wurde 1908 v​om Mathematiker Walter Ritz a​ls mathematisches Verfahren veröffentlicht.[1]

Es sei ${\displaystyle H}$ ein selbstadjungierter Operator mit Definitionsbereich ${\displaystyle D(H)}$ in einem Hilbertraum. Dann ist das Infimum des Spektrums ${\displaystyle \sigma (H)}$ gegeben durch

${\displaystyle E_{0}=\inf \sigma (H)=\inf _{\psi \in D(H)\setminus \{0\}}{\frac {\langle \psi ,H\psi \rangle }{\langle \psi ,\psi \rangle }}}$.

Ist das Infimum ${\displaystyle E_{0}}$ ein Eigenwert, so erhält man die Ungleichung

${\displaystyle E_{0}\leq {\frac {\langle \psi ,H\psi \rangle }{\langle \psi ,\psi \rangle }}}$

mit Gleichheit genau dann, wenn ${\displaystyle \psi }$ ein Eigenvektor zu ${\displaystyle E_{0}}$ ist. Der Quotient auf der rechten Seite ist als Rayleigh-Quotient bekannt.

In der Praxis eignet es sich auch als Näherungsverfahren, indem man einen Ansatz für ${\displaystyle \psi }$ mit unbestimmten Parametern macht und die Parameter so optimiert, dass der Rayleigh-Quotient minimal wird. Statt über Vektoren im Definitionsbereich ${\displaystyle D(H)}$ kann man auch über Vektoren im quadratischen Formenbereich ${\displaystyle Q(H)}$ optimieren, was dann einer schwachen Formulierung des Eigenwertproblems entspricht.

Anwendungen

Das Prinzip k​ommt beispielsweise b​ei der Berechnung v​on Parametern d​es Schwingungsverhaltens v​on elastischen Platten, a​ber auch anderer elastischer Körper (wie e​twa Balken), z​ur Anwendung, w​enn exakte Lösungen n​icht mehr m​it elementaren Rechenmethoden z​u erreichen sind.

Grundgedanke i​st das Gleichgewicht d​er potenziellen Kräfte v​on äußeren, eingeprägten u​nd inneren Kräften. Diese Potenziale werden d​urch Verformungsgrößen ausgedrückt (z. B. Durchbiegung). Die Spannungen werden d​abei durch Dehnungen o​der Scherungen n​ach dem Hookeschen Gesetz ausgedrückt.

In der Quantenmechanik besagt das Prinzip, dass für die Gesamtenergie ${\displaystyle {\mathcal {}}E_{0}}$ des Systems im Grundzustand ${\displaystyle |\psi _{0}\rangle }$ (also für den diesbezüglichen Erwartungswert des Hamilton-Operators ${\displaystyle {\hat {H}}}$) und für beliebige Wellenfunktionen bzw. Zustände ${\displaystyle |\psi \rangle }$ der Erwartungswert ${\displaystyle \langle \psi |{\hat {H}}|\psi \rangle }$ größer oder gleich (gleich im Fall der exakten Grundzustandswellenfunktion) der Grundzustandsenergie des Systems ist:

${\displaystyle E_{0}\leq \langle {\hat {H}}\rangle [\psi ]\,:=\,\langle \psi |{\hat {H}}|\psi \rangle ,\qquad \|\psi \|=1.}$

In der Regel ist der Hamilton-Operator dabei nach unten beschränkt und hat an der unteren Grenze des Spektrums einen (nicht entarteten) Eigenwert („Grundzustand“). Die Probe-Wellenfunktion kann zwar von der exakten Grundzustandsfunktion erheblich abweichen, wird ihr aber umso ähnlicher, je näher die berechnete Gesamtenergie an der Grundzustandsenergie ist.

Ritz-Verfahren

Das Ritz'sche Variationsverfahren[2] wendet das Rayleigh-Ritz-Prinzip direkt an. Dazu wird eine Familie von Testvektoren, die über einen Satz von Parametern β variiert werden, verwendet. So kann eine (nicht notwendig endliche) Menge von Vektoren ${\displaystyle \psi _{n}}$ gewählt werden und der Testvektor als Linearkombination dargestellt werden:

${\displaystyle \psi _{\vec {\beta }}=\sum _{n}\beta _{n}\psi _{n}}$

Oder man wählt eine Familie von Funktionen, die über einen Parameter variiert werden, wie etwa Gauß-Kurven mit verschiedener Breite ${\displaystyle \beta }$:

${\displaystyle \psi _{\beta }(x)={\frac {1}{\beta {\sqrt {2\pi }}}}\cdot \exp \left[-{\frac {x^{2}}{2\beta ^{2}}}\right]}$

Nun setzt man diese Funktionen in obigen Ausdruck ein und sucht den minimalen Wert von ${\displaystyle \langle {\hat {H}}\rangle [\psi _{\beta }]}$. Im einfachsten Fall kann dies durch Differentiation nach dem Parameter ${\displaystyle \beta }$ geschehen:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \beta }}\langle {\hat {H}}\rangle [\psi _{\beta }]=0}$

Löst man diese Gleichung, so erhält man für ${\displaystyle \beta }$ einen Wert, für den die Grundzustandsenergie minimiert wird. Mit diesem Wert hat man eine Näherungslösung, weiß aber nicht, wie gut der Ansatz wirklich ist, weshalb man von „unkontrollierten Verfahren“ spricht. Immerhin kann man den Minimalwert als „beste Annäherung“ an die tatsächliche Grundzustandsenergie benutzen.

Zum Beweis

Das Prinzip ist unmittelbar einsichtig, wenn man voraussetzt, dass es eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren ${\displaystyle \psi _{n}}$ von ${\displaystyle H}$ mit zugehörigen Eigenwerten ${\displaystyle E_{n}}$ gibt. Diese Eigenwerte ${\displaystyle E_{0}\leq E_{1}\leq \cdots }$ seien geordnet, dann erhält man durch Entwicklung

${\displaystyle \psi =\sum _{n}\langle \psi _{n},\psi \rangle \psi _{n}}$

eines beliebigen Vektors ${\displaystyle \psi }$ nach dieser Orthonormalbasis

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \psi ,H\psi \rangle &=\sum _{n}\langle \psi ,H\psi _{n}\rangle \langle \psi _{n},\psi \rangle \\&=\sum _{n}E_{n}\langle \psi ,\psi _{n}\rangle \langle \psi _{n},\psi \rangle \\&\geq E_{0}\sum _{n}\langle \psi ,\psi _{n}\rangle \langle \psi _{n},\psi \rangle \\&=E_{0}\langle \psi ,\psi \rangle \,.\end{aligned}}}$

Im allgemeinen Fall e​ines beliebigen Spektrums k​ann zum Beweis e​in analoges Argument gemacht werden, i​ndem man gemäß d​em Spektralsatz d​ie Summe d​urch ein Integral über d​ie Spektralschar ersetzt.

Erweiterungen

Eine Erweiterung i​st der Satz v​on Courant-Fischer,[3] d​er ein Variationsprinzip für a​lle Eigenwerte unterhalb d​es wesentlichen Spektrums darstellt. Eine exakte Abschätzung e​ines Eigenwerts n​ach oben u​nd unten liefert d​ie Temple-Ungleichung.[4][5]

Literatur

• Hans Cycon, Richard G. Froese, Werner Kirsch, Barry Simon: Schrödinger Operators, Springer 1987
• Michael Reed, Barry Simon: Methods of Modern Mathematical Physics, 4 Bände, Academic Press 1978, 1980
• John William Strutt, 3. Baron Rayleigh, The Theory of Sound, 1877
• W. Ritz: Über eine neue Methode zur Lösung gewisser Variationsprobleme der mathematischen Physik. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik ISSN 0075-4102, Bd. 135, 1908, S. 1–61
• W. Ritz: Theorie der Transversalschwingungen einer quadratischen Platte mit freien Rändern. In: Annalen der Physik ISSN 0003-3804, (4. Folge) Bd. 28, 1909, S. 737–786
• G.M. Vainikko: Ritz method. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online).
• Gerald Teschl: Mathematical Methods in Quantum Mechanics; With Applications to Schrödinger Operators, American Mathematical Society, 2009 (Freie Online-Version)
• Karl-Eugen Kurrer: Geschichte der Baustatik. Auf der Suche nach dem Gleichgewicht, Ernst und Sohn, Berlin 2016, S. 519ff, ISBN 978-3-433-03134-6.

Einzelnachweise

1. W.B. Krätziget al.: Tragwerke 2. Theorie und Berechnungsmethoden statisch unbestimmter Stabtragwerke. Gabler Wissenschaftsverlage, 2004, ISBN 978-3-540-67636-2, S. 232 (online [abgerufen am 7. April 2012]).
2. J.K. MacDonald, Successive Approximations by the Rayleigh-Ritz Variation Method, Physical Review ISSN 0031-899X, Bd. 43, (1933), S. 830–833.
3. Gerald Teschl: Mathematical Methods in Quantum Mechanics. With Applications to Schrödinger Operators. American Mathematical Society, 2009, ISBN 978-0-8218-4660-5, S. 119 (online [abgerufen am 7. April 2012] Theorem 4.10).
4. George Temple: The theory of Rayleigh's principle as applied to continuous systems. In: Proc. Roy. Soc. London. Ser. A 119, 1928, S. 276–293.
5. Gerald Teschl: Mathematical Methods in Quantum Mechanics. With Applications to Schrödinger Operators. American Mathematical Society, 2009, ISBN 978-0-8218-4660-5, S. 120 (online [abgerufen am 7. April 2012] Theorem 4.13).