Wesentliches Spektrum

Das wesentliche Spektrum o​der essentielle Spektrum i​st ein Objekt a​us dem mathematischen Teilgebiet d​er Funktionalanalysis. Es w​ird in d​er Literatur n​icht einheitlich definiert. Alle Definitionen h​aben jedoch gemein, d​ass das wesentliche Spektrum e​ine Teilmenge d​es Spektrums e​ines linearen Operators ist, b​ei dem Punkte, d​ie als "gutartig" angesehen werden, entfernt wurden.

Definition

Eine mögliche Definition lautet: Sei ${\displaystyle A}$ ein linearer Operator auf einem Hilbertraum, dann besteht das wesentliche Spektrum ${\displaystyle \sigma _{ess}(A)}$ von ${\displaystyle A}$ aus allen ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} ,}$ für die ${\displaystyle A-\lambda I}$ kein Fredholm-Operator ist. Es ist damit eine Verallgemeinerung des Eigenwertbegriffs.

Eigenschaften

Das wesentliche Spektrum aus der obigen Definition ist invariant unter Störungen mit einem kompakten Operator ${\displaystyle K.}$ Es gilt also ${\displaystyle \sigma _{ess}(A)=\sigma _{ess}(A+K)}$ .

Für einen normalen Operator ${\displaystyle A}$ auf einem Hilbertraum gehört ${\displaystyle \lambda }$ genau dann zu ${\displaystyle \sigma _{ess}(A)}$ , wenn ${\displaystyle \lambda }$ kein isolierter Eigenwert endlicher Vielfachheit ist. Alternativ kann das wesentliche Spektrum auch als das gewöhnliche Spektrum des Bildes des Operators ${\displaystyle A}$ in der Calkin-Algebra definiert werden.

Literatur

• Harro Heuser: Funktionalanalysis: Theorie und Anwendung. 3. Aufl., B.G. Teubner, Stuttgart 1992. ISBN 3-519-22206-X.