Raumladungsgesetz

Das Raumladungsgesetz beschreibt d​en Zusammenhang zwischen elektrischer Stromstärke u​nd Spannung e​iner evakuierten Zweielektrodenanordnung b​ei raumladungsbegrenztem Betrieb (z. B. Röhrendiode m​it Glühkathode). Wegen d​er frühen Arbeiten v​on Clement Dexter Child[1] u​nd Irving Langmuir[2] über Entladungserscheinungen w​ird das Raumladungsgesetz manchmal a​uch Langmuir-Child-Gesetz genannt. Der Zusammenhang d​er Stromdichte i​n einer evakuierten Zweielektrodenanordnung u​nd der elektrischen Spannung w​ird in d​er Schottky-Gleichung ausgedrückt.

Kurzbeschreibung

Es gilt

${\displaystyle I=KU^{\frac {3}{2}}}$,

wobei ${\displaystyle I}$ und ${\displaystyle U}$ Anodenstrom bzw. -spannung bezeichnen. Der Faktor ${\displaystyle K}$, die sogenannte Raumladungskonstante oder Perveanz der Diode, ist eine lediglich von der Gestalt der Elektrodenanordnung abhängige Größe und somit eine Röhrenkonstante.

Das Raumladungsgesetz g​ilt für U > 0 V. Für U < 0 V g​ilt das Anlaufstromgesetz. Das Raumladungsgesetz verliert s​eine Gültigkeit b​ei zu geringer Kathodenergiebigkeit o​der zu h​oher Anodenspannung.

Herleitung

Man betrachte zwei beliebig geformte Elektroden im Vakuum, von denen die eine (geheizte, beliebig ergiebige Kathode) auf das Potential ${\displaystyle \phi =0}$ (erste Randbedingung) und die andere (Anode) auf das Potential ${\displaystyle \phi =U}$ (Anodenspannung, zweite Randbedingung) gelegt wurde. Aus physikalischen Gründen muss das zugehörige Entladungsproblem eindeutig lösbar sein. Sei ${\displaystyle \phi _{0}(\mathbf {r} )}$ die Lösung für die Anodenspannung ${\displaystyle U=U_{0}}$, dann gilt nach den Gesetzen der Magnetohydrodynamik bei Vernachlässigung der Austrittsgeschwindigkeit und der relativistischen Massenzunahme der Elektronen für die restlichen Felder

${\displaystyle v_{0}={\sqrt {2\eta _{0}\phi _{0}}},\quad \rho _{0}=-\varepsilon _{0}\Delta \phi _{0},\quad J_{0}=-\rho _{0}v_{0},\quad I_{0}=\int J_{0}\mathrm {d} A,}$

wobei über die gesamte Anodenoberfläche (Anschlussdraht ausgeschlossen) zu integrieren ist. Offenbar ist nun ${\displaystyle \phi =a\phi _{0}}$ eine Lösung für ${\displaystyle U=aU_{0}}$ bei beliebiger Wahl der nicht negativen Zahl ${\displaystyle a}$, und für die anderen Felder gilt

${\displaystyle v={\sqrt {2\eta _{0}\phi }}={\sqrt {a}}v_{0},\quad \rho =-\varepsilon _{0}\Delta \phi =a\rho _{0},\quad J=-\rho v=a^{\frac {3}{2}}J_{0},\quad I=\int J\mathrm {d} A=a^{\frac {3}{2}}I_{0}=\left({\frac {U}{U_{0}}}\right)^{\frac {3}{2}}I_{0}={\frac {I_{0}}{U_{0}^{\frac {3}{2}}}}U^{\frac {3}{2}}.}$

Da eindeutige Lösbarkeit vorausgesetzt war, ist mit ${\displaystyle \phi =a\phi _{0}}$ nicht nur eine, sondern die Lösung des Entladungsproblems für ${\displaystyle U=aU_{0}}$ gegeben. Weil ${\displaystyle a}$ beliebig gewählt werden kann, hat man sogar alle Lösungen des Problems vorliegen, sobald nur eine einzige bekannt ist. Nun ist ${\displaystyle I_{0}}$ bei gegebener Spannung ${\displaystyle U_{0}}$ sicherlich von der Gestalt der Anordnung abhängig, ${\displaystyle I_{0}/U_{0}^{3/2}}$ ist also eine Konstante der Anordnung, und für den Anodenstrom gilt damit

${\displaystyle I=KU^{\frac {3}{2}},\quad K={\frac {I_{0}}{U_{0}^{\frac {3}{2}}}}.}$

Das Raumladungsgesetz impliziert offenbar eine unendlich hohe Ergiebigkeit der Kathode, denn für ${\displaystyle U\to \infty }$ folgt aus ihm ${\displaystyle I\to \infty }$.

Die Konstante K

Die Konstante ${\displaystyle K}$ ist abhängig von der Anodenoberfläche ${\displaystyle F}$ und dem Abstand ${\displaystyle r}$ zwischen Kathode und Anode und der Bauform von Kathode und Anode. Barkhausen geht von einem dünnen Kathodendraht aus, der in der Mitte eines Anodenrohres mit Länge ${\displaystyle l}$ und Radius ${\displaystyle r}$ steht. ${\displaystyle v_{1}}$ ist die Geschwindigkeit des Elektrons nach dem Durchfliegen einer Spannung ${\displaystyle U}$. ${\displaystyle e}$ ist die Elementarladung, ${\displaystyle m_{\mathrm {e} }}$ die Elektronenmasse und ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ die Elektrische Feldkonstante.

${\displaystyle F=2\pi rl}$

${\displaystyle v_{1}={\sqrt {\frac {2eU}{m_{\mathrm {e} }}}}}$

${\displaystyle K={\frac {4}{9}}\varepsilon _{0}{\frac {v_{1}}{\sqrt {U}}}{\frac {F}{r^{2}}}}$

${\displaystyle K={\frac {4}{9}}\varepsilon _{0}{\sqrt {\frac {2e}{m_{\mathrm {e} }}}}{\frac {F}{r^{2}}}}$

Literatur

• H. Barkhausen: Lehrbuch der Elektronenröhren, 1. Band Allgemeine Grundlagen. 11. Auflage. S. Hirzel Verlag, Leipzig 1965, S. 46ff.

Einzelnachweise

1. Clement Dexter Child: Discharge From Hot CaO. In: Physical Review (Series I). Band 32, Nr. 5, 1911, S. 492–511, doi:10.1103/PhysRevSeriesI.32.492 (PDF [abgerufen am 5. Februar 2010]). PDF (Memento des Originals vom 23. Juni 2007 im Internet Archive)  Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.
2. Irving Langmuir: The Effect of Space Charge and Residual Gases on Thermionic Currents in High Vacuum. In: Physical Review (Series II). Band 2, Nr. 6, 1913, S. 450–486, doi:10.1103/PhysRev.2.450.