Quadratsummen-Funktion
Die Quadratsummen-Funktion (engl. sum of squares function) ist eine zahlentheoretische Funktion, die angibt, auf wie viele Arten eine gegebene natürliche Zahl als Summe von Quadraten ganzer Zahlen dargestellt werden kann, wobei alle Vertauschungen und Vorzeichenkombinationen mitgezählt werden.
Definition
n | n | r1(n) | r2(n) | r3(n) | r4(n) | r5(n) | r6(n) | r7(n) | r8(n) |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
1 | 1 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 |
2 | 2 | 0 | 4 | 12 | 24 | 40 | 60 | 84 | 112 |
3 | 3 | 0 | 0 | 8 | 32 | 80 | 160 | 280 | 448 |
4 | 22 | 2 | 4 | 6 | 24 | 90 | 252 | 574 | 1136 |
5 | 5 | 0 | 8 | 24 | 48 | 112 | 312 | 840 | 2016 |
6 | 2‧3 | 0 | 0 | 24 | 96 | 240 | 544 | 1288 | 3136 |
7 | 7 | 0 | 0 | 0 | 64 | 320 | 960 | 2368 | 5504 |
8 | 23 | 0 | 4 | 12 | 24 | 200 | 1020 | 3444 | 9328 |
9 | 32 | 2 | 4 | 30 | 104 | 250 | 876 | 3542 | 12112 |
10 | 2‧5 | 0 | 8 | 24 | 144 | 560 | 1560 | 4424 | 14112 |
11 | 11 | 0 | 0 | 24 | 96 | 560 | 2400 | 7560 | 21312 |
12 | 22‧3 | 0 | 0 | 8 | 96 | 400 | 2080 | 9240 | 31808 |
13 | 13 | 0 | 8 | 24 | 112 | 560 | 2040 | 8456 | 35168 |
14 | 2‧7 | 0 | 0 | 48 | 192 | 800 | 3264 | 11088 | 38528 |
15 | 3‧5 | 0 | 0 | 0 | 192 | 960 | 4160 | 16576 | 56448 |
16 | 24 | 2 | 4 | 6 | 24 | 730 | 4092 | 18494 | 74864 |
17 | 17 | 0 | 8 | 48 | 144 | 480 | 3480 | 17808 | 78624 |
18 | 2‧32 | 0 | 4 | 36 | 312 | 1240 | 4380 | 19740 | 84784 |
19 | 19 | 0 | 0 | 24 | 160 | 1520 | 7200 | 27720 | 109760 |
20 | 22‧5 | 0 | 8 | 24 | 144 | 752 | 6552 | 34440 | 143136 |
Die Funktion ist für alle und definiert als[1]
d. h. als Anzahl der Darstellungsmöglichkeiten von als Summe von Quadraten ganzer Zahlen mit .
Beispielsweise gilt
für alle . Es ist
- ,
da mit jeweils 2 Vorzeichenkombinationen gilt, und auch
wegen mit 4 Vorzeichenkombinationen. Andererseits ist
- ,
weil es keine Darstellung der Zahl 3 als Summe von 2 Quadraten gibt.
Aus der Definition folgt sofort die Beziehung
aus der sich eine Rekursionsformel zur effizienten Berechnung ableiten lässt:
Durchschnittliche Größenordnung
Es sei[2]
- .
Das ist anschaulich die Anzahl der (ganzzahligen) Gitterpunkte in einer -dimensionalen Kugel mit dem Radius und darum näherungsweise gleich dem Kugelvolumen. Genauer lässt sich rekursiv ableiten
- ,
wobei das Landau-Symbol ist und die Konstanten die Volumina der -dimensionalen Einheitskugeln sind:
Die durchschnittliche Größenordnung von ist damit , also z. B. die von .
Erzeugende Funktion
Die erzeugende Funktion erhält man als Potenz der Jacobischen Thetafunktion für den Spezialfall . Dafür gilt
Man erhält daraus
- .
Spezielle Fälle
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![](../I/Quadratsummen-Funktion_r_4.svg.png.webp)
![](../I/Quadratsummen-Funktion_r_8.svg.png.webp)
Einige spezielle Formeln sind z. B. (für ):
Für gilt:
Mit Hilfe der Primfaktorzerlegung , wobei die Primfaktoren der Form und die Primfaktoren der Form sind, ergibt sich als weitere Formel
- ,
wenn alle Exponenten gerade sind. Ist mindestens ein ungerade, dann ist . Nach Definition ist auch die Anzahl der Gaußschen Zahlen mit der Norm .
Für bewies Gauß eine Formel für quadratfreie Zahlen
wobei die Klassenzahl einer ganzen Zahl bezeichnet.
Für beliebige gilt nach dem Drei-Quadrate-Satz genau dann, wenn sich in der Form darstellen lässt.[3]
Die Formel für stammt von Carl Gustav Jacob Jacobi und liefert als achtfache Summe aller Teiler von die nicht durch 4 teilbar sind (Satz von Jacobi):
ist auch die Anzahl aller Lipschitz-Quaternionen mit der Norm .
Jacobi fand auch eine explizite Formel für :
Beziehung zur Sierpiński-Konstanten
Der Limes
existiert und wird (nach Wacław Sierpiński) als Sierpiński-Konstante bezeichnet. Diese lässt sich durch die Kreiszahl, die Euler-Mascheroni-Konstante und die Gammafunktion ausdrücken:
Siehe auch
Weblinks
- Eric W. Weisstein: Sum of Squares Function. In: MathWorld (englisch).
Einzelnachweise
- E. Krätzel: Zahlentheorie. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1981, S. 165.
- E. Krätzel: Zahlentheorie. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1981, S. 197.
- E. Krätzel: Zahlentheorie. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1981, S. 162.