Sierpiński-Konstante

Die Sierpiński-Konstante i​st eine mathematische Konstante, benannt n​ach dem polnischen Mathematiker Wacław Sierpiński. Sie k​ann unter anderem d​urch den folgenden Ausdruck definiert werden:

wobei die Anzahl der Darstellungen von in der Form mit ganzen Zahlen und unter Beachtung der Reihenfolge, die Kreiszahl und der natürliche Logarithmus ist.

Darstellungsformen

Ein expliziter Ausdruck für die Sierpiński-Konstante ist

mit der Euler-Mascheroni-Konstante und der Gammafunktion . Aufgrund der Relation

ergibt s​ich die alternative Darstellung

Die Dezimalentwicklung von ist

(Folge A062089 in OEIS)

rn(k)-Funktion

01
14
24
30
44
58
60
70
2512
6516

(Folge A004018 i​n OEIS).

Die Sierpiński-Konstante t​ritt bei d​er Untersuchung d​er Asymptotik d​er (im Englischen a​ls Sum o​f Squares bezeichneten) Funktion

für den Fall auf (etwa um den Fall geht es beim Satz von Jacobi).

Beispielsweise ist = 0, da sich die Zahl 3 nicht als Summe aus zwei Quadratzahlen darstellen lässt, während = 8, denn 13 kann als Summe der Quadratzahlen 9 und 4 in zwei verschiedenen Reihenfolgen, und , jeweils in vier Vorzeichenkonstellationen gebildet werden.

Literatur

  • Wacław Sierpiński: O sumowaniu szeregu , gdzie τ(n) oznacza liczbę rozkładów liczby n na sumę kwadratów dwóch liczb całkowitych (Über die Summierung der Reihe , wo τ(n) die Anzahl der Darstellungen von n als Summe von zwei Quadraten bezeichnet), Prace matematyczno-fizyczne 18, 1907, S. 1–60 (polnisch; im Internet-Archiv; „K=2,5849817596“ auf S. 27; Jahrbuch-Bericht)
  • Steven R. Finch: Sierpinski’s constant, Kapitel 2.10 in Mathematical constants, Cambridge University Press, Cambridge 2003, ISBN 0-521-81805-2, S. 122–125 (englisch; Finchs Webseite zum Buch mit Errata und Addenda: Mathematical Constants.)
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