Punktfunktor

In d​er Mathematik i​st der Punktfunktor e​in Begriff a​us der algebraischen Geometrie. Er ermöglicht es, i​n abstrakt definierten Schemata v​on Punkten z​u sprechen u​nd damit d​en klassischen Begriff d​er Punkte e​iner Varietät z​u verallgemeinern.

Definition

Zu einem Schema ${\displaystyle X}$ assoziiert man seinen Punktfunktor

${\displaystyle h_{X}\colon \left\{Schemes\right\}^{op}\to \left\{Sets\right\}}$

durch

${\displaystyle h_{X}(Y)=Mor(Y,X)}$,

also, indem man einem Schema ${\displaystyle Y}$ die Menge der Morphismen von ${\displaystyle Y}$ nach ${\displaystyle X}$ zuordnet.

Jedem Morphismus ${\displaystyle f\colon Y\to Z}$ wird die durch ${\displaystyle g\mapsto g\circ f}$ definierte Abbildung ${\displaystyle h_{X}(Z)\to h_{X}(Y)}$ zugeordnet.

Die Elemente der Menge ${\displaystyle h_{X}(Y)}$ werden (nach Grothendieck) als ${\displaystyle Y}$-wertige Punkte von ${\displaystyle X}$ bezeichnet. Insbesondere werden für einen Ring ${\displaystyle T}$ mit Spektrum ${\displaystyle Spec(T)}$ die ${\displaystyle Spec(T)}$-wertigen Punkte als ${\displaystyle T}$-wertige Punkte von ${\displaystyle X}$ bezeichnet.

Beispiel

Betrachte ${\displaystyle SL_{2}:=Spec(R)}$ mit

${\displaystyle R=\mathbb {Z} \left[x_{11},x_{12},x_{21},x_{22}\right]/(x_{11}x_{22}-x_{12}x_{21}-1)}$.

Dann entsprechen die ${\displaystyle \mathbb {C} }$ -wertigen Punkte von ${\displaystyle SL_{2}}$ den Elementen von ${\displaystyle SL(2,\mathbb {C} )}$, die ${\displaystyle \mathbb {R} }$-wertigen Punkte von ${\displaystyle SL_{2}}$ entsprechen den Elementen von ${\displaystyle SL(2,\mathbb {R} )}$, die ${\displaystyle F_{q}}$-wertigen Punkte von ${\displaystyle SL_{2}}$ entsprechen den Elementen von ${\displaystyle SL(2,F_{q})}$ und die ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-wertigen Punkte von ${\displaystyle SL_{2}}$ den Elementen von ${\displaystyle SL(2,\mathbb {Z} )}$.

Hingegen würden nicht alle Punkte von ${\displaystyle Spec(\mathbb {R} \left[x_{11},x_{12},x_{21},x_{22}\right]/(x_{11}x_{22}-x_{12}x_{21}-1))}$ Elementen aus ${\displaystyle SL(2,\mathbb {R} )}$ entsprechen, weil es in diesem Ring auch Maximalideale gibt, die Paaren komplex konjugierter Matrizen aus ${\displaystyle SL(2,\mathbb {C} )}$ entsprechen.

Eindeutigkeit

Aus dem Lemma von Yoneda folgt, dass der Punktfunktor ${\displaystyle h_{X}}$ das Schema ${\displaystyle X}$ eindeutig bestimmt. Tatsächlich wird ein Schema über einem kommutativen Ring ${\displaystyle R}$ bereits durch die Werte von ${\displaystyle h_{X}}$ auf affinen Schemata über ${\displaystyle R}$ eindeutig festgelegt.

Rationale Punkte

Für ein Schema über einem Körper ${\displaystyle K}$ (d. h. ein Schema ${\displaystyle X}$ mit einem Morphismus ${\displaystyle f\colon X\to Spec(K)}$) bezeichnet man als ${\displaystyle K}$-wertige Punkte diejenigen Morphismen ${\displaystyle Spec(K)\to X}$, deren Komposition mit ${\displaystyle f}$ die Identitätsabbildung ist.

Die ${\displaystyle K}$-wertigen Punkte sind dann genau die K-rationalen, abgeschlossenen Punkte von ${\displaystyle X}$. (Ein Punkt heißt ${\displaystyle K}$-rational, wenn der Quotientenkörper des lokalen Ringes nach seinem Maximalideal isomorph zu ${\displaystyle K}$ ist.)

Beispielsweise hat ${\displaystyle Spec(\mathbb {R} [x]/(x^{2}+1))}$ als Schema über ${\displaystyle \mathbb {R} }$ keine ${\displaystyle \mathbb {R} }$-wertigen Punkte, während es als Schema über ${\displaystyle \mathbb {C} }$ zwei ${\displaystyle \mathbb {C} }$ -wertige Punkte hat.

Literatur

• Eisenbud-Harris: The Geometry of Schemes. Lecture Notes in Mathematics 197, Springer-Verlag New York. online