Abgeschlossener Punkt

Der abgeschlossene Punkt i​st ein Begriff d​er mengentheoretischen Topologie, d​er aber v​or allem i​n der algebraischen Geometrie v​on Bedeutung ist.

Definition

Ein abgeschlossener Punkt in einem topologischen Raum ${\displaystyle X}$ ist ein Punkt ${\displaystyle x\in X}$, so dass die ein-elementige Teilmenge ${\displaystyle \left\{x\right\}}$ eine abgeschlossene Teilmenge von ${\displaystyle X}$ ist.

Abgeschlossene Punkte in der algebraischen Geometrie

In der Zariski-Topologie einer algebraischen Varietät ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$ entsprechen die abgeschlossenen Punkte den Maximalidealen von ${\displaystyle R}$.

Beispielsweise entsprechen die vom Nullideal ${\displaystyle \{0\}}$ verschiedenen Primideale, das heißt die von den Primzahlen erzeugten Hauptideale, den abgeschlossenen Punkten in ${\displaystyle \operatorname {Spec} (\mathbb {Z} )}$. Das Nullideal ist zwar auch ein Primideal, aber kein abgeschlossener Punkt.

T1-Räume

Ein topologischer Raum i​st genau d​ann ein T₁-Raum, w​enn alle Punkte abgeschlossene Punkte sind.

Weblinks

• closed point (nLab)