Prozess mit unabhängigen Zuwächsen

Der Prozess m​it unabhängigen Zuwächsen, a​uch Prozess m​it unabhängigen Inkrementen genannt, i​st ein Begriff a​us der Theorie d​er stochastischen Prozesse, e​inem Teilbereich d​er Wahrscheinlichkeitstheorie. Anschaulich i​st ein Prozess m​it unabhängigen Zuwächsen e​in Prozess, b​ei dem d​er Verlauf d​er Zukunft d​es Prozesses unabhängig v​on der Vergangenheit ist. Viele wichtige Klassen v​on Prozessen w​ie der Lévy-Prozess u​nd damit a​uch der Wienerprozess u​nd der Poisson-Prozess s​ind Prozesse m​it unabhängigen Zuwächsen.

Definition

Gegeben sei ein reellwertiger stochastischer Prozess ${\displaystyle (X_{t})_{t\in T}}$. Der Prozess heißt ein Prozess mit unabhängigen Zuwächsen, wenn für jedes ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ und beliebige ${\displaystyle t_{0},\ldots ,t_{N}\in T}$ mit

${\displaystyle t_{0}<t_{1}<\dots <t_{N-1}<t_{N}}$

gilt, dass die ${\displaystyle N}$ Zufallsvariablen

${\displaystyle Z_{i}=X_{t_{i}}-X_{t_{i-1}}{\text{ für }}i=1,\dots ,N}$

stochastisch unabhängig sind. Die ${\displaystyle Z_{i}}$ nennt man in naheliegender Weise Zuwächse.

Beispiel

Wir betrachten als Beispiel die zeitdiskrete symmetrische Irrfahrt auf ${\displaystyle \mathbb {Z} }$. Sei dazu ${\displaystyle Y_{n}}$ für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ unabhängig und identisch Rademacher-verteilt, also ${\displaystyle P(Y_{n}=-1)=P(Y_{n}=1)={\tfrac {1}{2}}}$. Die Irrfahrt wird dann definiert als

${\displaystyle X_{0}=0{\text{ und }}X_{n}=\sum _{i=1}^{n}Y_{i}{\text{ für }}n\geq 1}$.

Demnach ist die Differenz zu zwei beliebigen Zeitpunkten ${\displaystyle t_{i}}$ und ${\displaystyle t_{i-1}}$ mit ${\displaystyle t_{i-1}<t_{i}}$ immer

${\displaystyle Z_{i}=\sum _{t_{i-1}+1}^{t_{i}}Y_{i}}$.

Da aber bereits die ${\displaystyle Y_{n}}$ alle voneinander unabhängig sind, ist dann auch jede überschneidungsfrei aus ihnen gebildete Teilfamilie unabhängig. Demnach sind auch die ${\displaystyle Z_{i}}$ unabhängig voneinander und der Prozess ${\displaystyle (X_{n})}$ ist ein Prozess mit unabhängigen Zuwächsen.

Literatur

• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.