Potenz-assoziative Algebra

Eine potenz-assoziative Algebra i​st eine Algebra, i​n welcher d​ie Potenzen e​ines Elements unabhängig v​on der Beklammerungsreihenfolge definiert werden können.

Definitionen

Für ein Magma und jedes definiere man

sowie für jedes .

Die Verknüpfung eines Magmas heißt potenz-assoziativ für ein Element , wenn für alle positiven natürlichen Zahlen gilt

Ein Magma nennt man potenz-assoziatives Magma, wenn dessen Verknüpfung potenz-assoziativ ist für jedes .

Die Algebra heißt potenz-assoziativ (potenz-assoziative Algebra), wenn ihre Multiplikation potenz-assoziativ ist, also ein potenz-assoziatives Magma ist.

Beispiele

Potenz-assoziative Magmen

  • Jede Halbgruppe ist auch immer ein potenz-assoziatives Magma.
  • Für jedes idempotente Element eines Magmas gilt die Potenz-Assoziativität: .
    Entsprechend ist jedes idempotente Magma ein potenz-assoziatives Magma
  • Jede alternative und flexible Verknüpfung, die die Moufang-Identitäten erfüllt, ist auch potenz-assoziativ.
    Beweis (per vollständiger Induktion):
    • Induktionsanfang :
    • Induktionsanfang :
    • Induktionsschritt für :




(1) Definition
(2) (Links-)Alternativität von
(3) Flexibilität (und der daraus folgenden -Potenz-Assoziativität, siehe unten) von
(4) Moufang-Identität für
(5) Induktionsvoraussetzung
  • Für die Multiplikation einer Algebra reicht hierfür bereits die Alternativität aus, siehe unten!
  • Für Spezialfälle reichen weniger Voraussetzungen aus. So folgt bereist aus der Alternativität:

    1: Definition
    2: Linksalternativität
    3: Rechtsalternativität

Potenz-assoziative Algebren

  • Alle assoziativen Algebren sind potenz-assoziativ.
  • Alle -Algebren , in denen es zu jedem ein gibt mit , sind potenz-assoziativ.
    • Hierzu gehört beispielsweise , ausgestattet mit dem Kreuzprodukt, da für alle .
  • Die Algebra der Sedenionen ist ebenfalls eine potenz-assoziative Algebra.

Weitere Abschwächungen der Potenz-Assoziativität

Die Verknüpfung eines Magmas heißt -potenz-assoziativ für ein Element , wenn für die positive natürliche Zahl gilt:

Ein Magma, dessen Verknüpfung -potenz-assoziativ ist, kann man somit auch als ein -potenz-assoziatives Magma bezeichnen.

Ein potenz-assoziatives Magma ist auch immer ein -potenz-assoziatives Magma, denn es gilt:

1: Definition
2: Potenz-Assoziativität von

Ein flexibles Magma (und erst recht jede Halbgruppe) ist auch immer ein -potenz-assoziatives Magma, denn es gilt (per vollständiger Induktion):

  • Induktionsanfang (nur mit Definition ):
  • Induktionsschritt :
1: Definition
2: Flexibilität von
3: Induktionsvoraussetzung

Die Verknüpfung eines Magmas heißt idemassoziativ (in Anlehnung an idempotent) für ein Element , wenn gilt

.

Ein Magma, dessen Verknüpfung idemassoziativ ist, k​ann man s​omit auch a​ls ein idemassoziatives Magma bezeichnen.

Ein -potenz-assoziatives Magma ist auch immer ein idemassoziatives Magma (mit ).

Beispiele

1. Das Magma mit der folgenden Verknüpfungstafel ist idemassoziativ, aber weder -potenz-assoziativ (und somit auch nicht potenz-assoziativ) noch flexibel noch alternativ:

0 1 2
0 212
1 220
2 200
  • nicht linksalternativ wegen
  • nicht rechtsalternativ wegen
  • nicht flexibel wegen
  • nicht potenz-assoziativ wegen
  • nicht -potenz-assoziativ für wegen
  • idemassoziativ wegen

2. Das Magma mit der folgenden Verknüpfungstafel ist potenz-assoziativ (und somit auch -potenz-assoziativ und idemassoziativ), aber weder flexibel noch alternativ:

0 1 2
0 000
1 002
2 002
  • nicht alternativ wegen
  • nicht flexibel wegen
  • potenz-assoziativ wegen

3. Das Potenzieren ist nicht idemassoziativ (und somit auch weder -potenz-assoziativ noch potenz-assoziativ), denn es gilt zum Beispiel: .

Literatur

  • Ebbinghaus et al.: Zahlen. Springer, Berlin 1992, ISBN 3-54055-654-0.
  • R. D. Schafer: An Introduction to Nonassociative Algebras. Benediction Classics, 2010, ISBN 1-84902-590-8.
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