Verknüpfungstafel

Eine Verknüpfungstafel ist eine Tabelle, mit der in der Mathematik und insbesondere der Algebra zweistellige Verknüpfungen dargestellt werden. Zum Beispiel zeigt die folgende Verknüpfungstafel die Multiplikation ${\displaystyle \cdot$ :\ \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}\to \mathbb {Z} _{2}} auf der Menge ${\displaystyle \mathbb {\mathbb {Z} } _{2}=\{-1,1\}}$:

${\displaystyle \cdot }$	1	−1
1	1	−1
−1	−1	1

Verknüpfungstafeln treten zum Beispiel in der Aussagenlogik in Form von Wahrheitstafeln auf. In der Gruppentheorie können sie verwendet werden, um (kleine) Gruppen aufzuschreiben oder zu konstruieren.

Tafeln zweistelliger Verknüpfungen

Die Darstellung als Verknüpfungstafel eignet sich für jede beliebige Verknüpfung ${\displaystyle \circ \colon A\times B\to C}$. Eine solche Verknüpfung ${\displaystyle c=a\circ b}$ ordnet jedem Paar von Elementen ${\displaystyle a\in A}$ und ${\displaystyle b\in B}$ ein Element ${\displaystyle c\in C}$ zu. Diese Zuordnung kann in einer Tabelle folgendermaßen dargestellt werden:

${\displaystyle \circ }$	${\displaystyle \dots }$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle \dots }$
${\displaystyle \vdots }$
${\displaystyle a}$		${\displaystyle a\circ b}$
${\displaystyle \vdots }$

In der Eingangsspalte steht das erste Argument ${\displaystyle a\in A}$, in der Kopfzeile das zweite Argument ${\displaystyle b\in B}$, im Schnittpunkt von ${\displaystyle a}$-Zeile und ${\displaystyle b}$-Spalte findet sich das Ergebnis ${\displaystyle c=a\circ b}$ der Verknüpfung.

Um die Tabelle vollständig aufschreiben zu können, setzt man zudem voraus, dass die Mengen ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ endlich sind, und für praktische Zwecke auch noch hinreichend klein.

Häufig werden Verknüpfungstafeln für innere Verknüpfungen verwendet (also im Fall ${\displaystyle A=B=C}$) und hier insbesondere für Gruppen.

Beispiele

Beispiele aus der Logik

Wahrheitstafeln dienen i​n der Aussagenlogik dazu, d​as Ergebnis d​er logischen Verknüpfungen (Junktoren) z​u beschreiben bzw. z​u definieren. Drei typische Beispiele sind

• der Konjunktor ${\displaystyle \wedge }$ (logisches "und"),
• der Disjunktor ${\displaystyle \vee }$ (logisches "oder"),
• die Implikation ${\displaystyle \Rightarrow }$ (logisches "wenn... dann...").

Die folgenden Tabellen zeigen d​ie Verknüpfungstafeln dieser Junktoren:

${\displaystyle \wedge }$ wahr falsch wahr wahr falsch falsch falsch falsch

${\displaystyle \vee }$ wahr falsch wahr wahr wahr falsch wahr falsch

${\displaystyle \Rightarrow }$ wahr falsch wahr wahr falsch falsch wahr wahr

Die ersten beiden Tabellen s​ind unmittelbar einleuchtend. Die dritte hingegen i​st weniger intuitiv: Sie drückt d​ie Tatsache aus, d​ass man d​urch korrektes Schließen a​us wahren Voraussetzungen n​ur wahre Folgerungen gewinnen k​ann (erste Zeile), d​ass man a​us falschen Voraussetzungen a​ber sowohl falsche a​ls auch w​ahre Folgerungen ziehen k​ann (zweite Zeile). Dieses Beispiel zeigt, d​ass auch d​ie logischen Verknüpfungen e​iner klärenden Definition bedürfen, u​nd die Wahrheitstafeln s​ind hierzu e​ine geeignete Schreibweise.

Beispiele aus der Algebra

Auf der Menge ${\displaystyle A=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11\}}$ betrachten wir zwei Verknüpfungen, die Addition ${\displaystyle a+b\,{\bmod {5}}}$ und die Multiplikation ${\displaystyle a\cdot b\,{\bmod {5}}}$. Diese entsprechen den folgenden beiden Verknüpfungstafeln:

${\displaystyle +}$ 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3 4 1 1 2 3 4 0 2 2 3 4 0 1 3 3 4 0 1 2 4 4 0 1 2 3

${\displaystyle \cdot }$ 0 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 2 0 2 4 1 3 3 0 3 1 4 2 4 0 4 3 2 1

Manche Eigenschaften einer inneren zweistelligen Verknüpfung ${\displaystyle \circ \colon A\times A\to A}$ lassen sich leicht aus der Verknüpfungstafel ablesen:

Kommutativität

Die Verknüpfung ${\displaystyle \circ }$ ist genau dann kommutativ, erfüllt also ${\displaystyle a\circ b=b\circ a}$ für alle ${\displaystyle a,b\in A}$, wenn die Verknüpfungstafel symmetrisch bezüglich der Hauptdiagonale ist. Dies ist in beiden obigen Beispielen der Fall.

Neutrales Element

Ein Element ${\displaystyle e\in A}$ ist genau dann linksneutral, erfüllt also ${\displaystyle e\circ a=a}$ für alle ${\displaystyle a\in A}$, wenn die ${\displaystyle e}$-Zeile eine Kopie der Kopfzeile ist. Gleiches gilt für ein rechtsneutrales Element ${\displaystyle e}$ und die ${\displaystyle e}$-Spalte. Im obigen Beispiel ${\displaystyle (A,+)}$ ist ${\displaystyle 0}$ ein beidseitig neutrales Element. Im Beispiel ${\displaystyle (A,\cdot )}$ ist ${\displaystyle 1}$ ein beidseitig neutrales Element.

Inverse Elemente

Wir nehmen nach dem vorherigen Beispiel an, dass ${\displaystyle e}$ ein beidseitig neutrales Element für die Verknüpfung ${\displaystyle \circ }$ ist. Zu einem gegebenen Element ${\displaystyle a}$ ist ${\displaystyle b}$ genau dann rechtsinvers, wenn ${\displaystyle a\circ b=e}$ gilt. Die Existenz eines solchen Rechtsinversen ersieht man daran, dass in der ${\displaystyle a}$-Zeile das Element ${\displaystyle e}$ auftaucht. Gleiches gilt für ein Linksinverses und die ${\displaystyle a}$-Spalte. Im obigen Beispiel ${\displaystyle (A,+)}$ ist etwa ${\displaystyle 3}$ beidseitig invers zu ${\displaystyle 2}$. Im Beispiel ${\displaystyle (A,\cdot )}$ hat ${\displaystyle 0}$ kein Inverses, jedes andere Element besitzt genau ein Inverses.

Assoziativität

Die Verknüpfung ${\displaystyle \circ }$ ist assoziativ, wenn ${\displaystyle a\circ (b\circ c)=(a\circ b)\circ c}$ für alle ${\displaystyle a,b,c\in A}$ gilt. Ob eine Verknüpfung diese Eigenschaft hat, ist beim Anblick ihrer Tafel nicht direkt ersichtlich und lässt sich nur durch mühsames Ausprobieren überprüfen.

Quasigruppen und lateinische Quadrate

Eine Quasigruppe ist eine nichtleere Menge ${\displaystyle Q}$ mit einer Verknüpfung ${\displaystyle \circ \colon Q\times Q\to Q}$, sodass für alle ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ in ${\displaystyle Q}$ die Gleichungen ${\displaystyle a\circ x=b}$ und ${\displaystyle y\circ a=b}$ jeweils genau eine Lösung in ${\displaystyle Q}$ haben. Dies äußert sich in der Verknüpfungstafel dadurch, dass jede Zeile eine Permutation der Kopfzeile ist und jede Spalte eine Permutation der Eingangsspalte. Eine solche Tabelle nennt man auch lateinisches Quadrat.

Für weitere Beispiele v​on Verknüpfungstafeln siehe: Kleinsche Vierergruppe, Quaternionengruppe, Sedenion, S3 (Gruppe), A4 (Gruppe).

Geschichte

Verknüpfungstafeln wurden i​n der Gruppentheorie zuerst v​on Arthur Cayley verwendet. In e​iner Arbeit v​on 1854 n​ennt er s​ie schlicht Tafeln (engl. tables) u​nd benutzt s​ie zur Erläuterung v​on Gruppen. Ihm z​u Ehren werden Verknüpfungstafeln i​n der Gruppentheorie a​uch Cayley-Tafeln genannt. Zur Konstruktion v​on Gruppen s​ind Verknüpfungstafeln jedoch n​ur für s​ehr kleine Gruppen geeignet, d​a das systematische Ausprobieren b​ei größerer Elementezahl hoffnungslos ineffizient ist. Diese Herangehensweise w​urde daher i​n der Gruppentheorie d​urch leistungsfähigere Konstruktionen ergänzt u​nd schließlich ersetzt, u​nd spielt für d​ie Theorie h​eute keine Rolle mehr. Die Verknüpfungstafel e​iner Gruppe führt jedoch unmittelbar z​um Satz v​on Cayley u​nd damit z​u einem natürlichen Ausgangspunkt d​er Darstellungstheorie v​on Gruppen.

• Arthur Cayley: "On the theory of groups, as depending on the symbolic equation θ ⁿ = 1", Philosophical Magazine, Vol. 7, pp. 40–47. Online verfügbar bei GoogleBooks als Teil seiner Gesammelten Werke.
• Arthur Cayley: On the Theory of Groups. In: American Journal of Mathematics, Vol. 11, No. 2 (Januar 1889), S. 139–157, Online frei verfügbar bei JSTOR 2369415.

Weblinks

• Applet zur Erstellung von Gruppentafeln (englisch)