Pellsche Gleichung

Als Pellsche Gleichung (nach John Pell, 1611–1685) bezeichnet m​an eine diophantische Gleichung d​er Form

${\displaystyle x^{2}-n\cdot y^{2}=1}$

6 ganzzahlige Lösungen der Pellsche Gleichung für ${\displaystyle n=2}$

mit positiv ganzzahligem ${\displaystyle n}$.

Ist ${\displaystyle n}$ eine Quadratzahl, so besitzt die Gleichung offenbar nur die trivialen Lösungen ${\displaystyle (\pm 1,\ 0)}$. Andernfalls gibt es unendlich viele Lösungen, die man mit Hilfe der Kettenbruchentwicklung von ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$ bestimmen kann. Die verwandten Gleichungen ${\displaystyle x^{2}-n\cdot y^{2}=-1\,\!}$ und ${\displaystyle x^{2}-n\cdot y^{2}=\pm 4\;\!}$ werden oft ebenfalls Pellsche Gleichungen genannt.

Die Gleichung w​ird John Pell fälschlicherweise zugeschrieben. Korrekter wäre d​ie Bezeichnung Fermatsche Gleichung.[1][2]

Die Gleichung war schon Brahmagupta und Bhaskara II. bekannt. Die Lösung dieser Gleichung war als Problem von Pierre de Fermat in einem Brief an Bernard Frénicle de Bessy gestellt worden und 1657 als Problem veröffentlicht. Pell befasste sich nie mit der Lösung der Gleichung. Brouncker fand einige Lösungen (veröffentlicht im Commercium epistolicum of John Wallis 1658). Leonhard Euler stieß auf die Lösung von Brouncker in der lateinischen Ausgabe des Treatise of Algebra von John Wallis und benannte die Gleichung fälschlich nach Pell.[3][4] Euler veröffentlichte zuerst 1732 über die Pell-Gleichung und fand später die Verbindung mit Kettenbrüchen (veröffentlicht 1765), die im Grunde schon hinter der Lösung von Brouncker steckt. Joseph-Louis Lagrange befasste sich nach Euler ausführlich mit der Gleichung und gab als Erster einen Beweis, dass es für jedes ${\displaystyle n}$ eine Lösung gibt, wobei Fermat möglicherweise auch einen Beweis hatte.[5]

Algebraische Zahlentheorie

Das Auffinden aller Lösungen ist für spezielle ${\displaystyle n}$ äquivalent dazu, die Einheiten des Ganzheitsrings des reellquadratischen Zahlkörpers ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {n}})}$ zu finden. Nach dem Dirichletschen Einheitensatz hat die Einheitengruppe den Rang 1, d. h., es gibt eine Fundamentaleinheit (oder auch Grundeinheit) ${\displaystyle \varepsilon =x_{0}+y_{0}{\sqrt {n}},}$ mit der sich alle Lösungen als ${\displaystyle \pm \varepsilon ^{k},k\in \mathbb {N} }$ darstellen lassen.

Beispielsweise ist für ${\displaystyle n=2}$ die Einheit ${\displaystyle 1+1{\sqrt {2}}}$ eine Fundamentaleinheit und man kann die anderen Lösungen

${\displaystyle 3+2{\sqrt {2}},\ 7+5{\sqrt {2}},\ 17+12{\sqrt {2}},\ \ldots ,\ (1+1{\sqrt {2}})^{k}}$

aus i​hr erzeugen.

Lösungsmöglichkeiten

Lösung mit Hilfe der Kettenbruchentwicklung

Die Kettenbruchentwicklung einer quadratisch irrationalen Zahl ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$ ist unendlich und periodisch. ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$ hat die Kettenbruchentwicklung ${\displaystyle {\sqrt {n}}=[b_{0};\ {\overline {b_{1},\dotsc ,b_{m}}}]}$ (siehe Periodische Kettenbrüche). Sei

${\displaystyle {\frac {x}{y}}=[b_{0};\ b_{1},\dotsc ,b_{m-1}]}$

mit ganzzahligen ${\displaystyle x,\ y}$, dann ist ${\displaystyle x,\ y}$ die kleinste Lösung der verallgemeinerten Pellschen Gleichung ${\displaystyle x^{2}-n\cdot y^{2}={(-1)}^{m}}$. Die anderen Lösungen lassen sich wie erwähnt daraus konstruieren.[6] Auch alle weiteren

${\displaystyle {\frac {x_{k}}{y_{k}}}=[b_{0};\ b_{1},\dotsc ,b_{km-1}]}$

mit ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ lösen ${\displaystyle x^{2}-n\cdot y^{2}={(-1)}^{km}}$.

Zum Beispiel hat ${\displaystyle {\sqrt {13}}}$ die Kettenbruchentwicklung

${\displaystyle {\sqrt {13}}=[3;\ {\overline {1,1,1,1,6}}]\,.}$

Bricht man die Entwicklung jeweils an der Stelle ${\displaystyle k}$ ab, so erhält man beginnend mit ${\displaystyle k=1}$

${\displaystyle {\sqrt {13}}\approx {\frac {3}{1}},{\frac {4}{1}},{\frac {7}{2}},{\frac {11}{3}},{\frac {18}{5}}_{k=5},{\frac {119}{33}},{\frac {137}{38}},{\frac {256}{71}},{\frac {393}{109}},{\frac {649}{180}}_{k=10},{\frac {4287}{1189}},\ \dots }$

und findet an den Stellen ${\displaystyle k=5}$ und ${\displaystyle k=10}$ die Lösungen

${\displaystyle x_{0}=\ \ 18,\ y_{0}=\quad 5}$  von  ${\displaystyle x^{2}-13\cdot y^{2}=-1}$  und

${\displaystyle x_{1}=649,\ y_{1}=180}$  von  ${\displaystyle x^{2}-13\cdot y^{2}=+1}$.

Weiter stellt man fest, dass für ${\displaystyle n=13}$ jedes Element der abgebrochenen Kettenbruchentwicklung der Länge ${\displaystyle k=5l,\ l\in \mathbb {N} }$ eine Lösung einer Pellschen Gleichung mit rechter Seite ${\displaystyle \pm 1}$ ist, die Näherungsbrüche „dazwischen“ lösen die Gleichung mit ${\displaystyle \pm 3}$ und ${\displaystyle \pm 4}$.

Generieren weiterer Lösungen auf Basis einer bekannten

Ist eine Lösung ${\displaystyle x_{0},\ y_{0}}$ bekannt, so lassen sich weitere Lösungen auch mit einer Matrizenmultiplikation bestimmen. Es gilt

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x_{i+1}\\y_{i+1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{0}&n\!\cdot \!y_{0}\\y_{0}&x_{0}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{i}\\y_{i}\end{pmatrix}}}$

Beispiel

Die Pellsche Gleichung für ${\displaystyle n=5}$ hat die Minimallösung ${\displaystyle (x_{0}=2,\ y_{0}=1)}$. Die nächsten Lösungen ergeben sich dann zu

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&5\\1&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}9\\4\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&5\\1&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}9\\4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}38\\17\end{pmatrix}}}$

usw.

Tabelle der Fundamentaleinheiten für die Pellsche Gleichung

Hier eine Tabelle der kleinsten Lösungen (Fundamentaleinheiten) von ${\displaystyle x^{2}-n\cdot y^{2}=1}$ mit ${\displaystyle 1\leq n\leq 128}$. Ist ${\displaystyle n}$ ein Quadrat gibt es nur die die trivialen Lösungen ${\displaystyle (\pm 1,\ 0)}$.

Die Werte von ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ bilden die Folgen A002350[7] und A002349[8] in OEIS.

n	x	y
1	keine Lösung
2	3	2
3	2	1
4	keine Lösung
5	9	4
6	5	2
7	8	3
8	3	1
9	keine Lösung
10	19	6
11	10	3
12	7	2
13	649	180
14	15	4
15	4	1
16	keine Lösung
17	33	8
18	17	4
19	170	39
20	9	2
21	55	12
22	197	42
23	24	5
24	5	1
25	keine Lösung
26	51	10
27	26	5
28	127	24
29	9801	1820
30	11	2
31	1520	273
32	17	3

n	x	y
33	23	4
34	35	6
35	6	1
36	keine Lösung
37	73	12
38	37	6
39	25	4
40	19	3
41	2049	320
42	13	2
43	3482	531
44	199	30
45	161	24
46	24335	3588
47	48	7
48	7	1
49	keine Lösung
50	99	14
51	50	7
52	649	90
53	66249	9100
54	485	66
55	89	12
56	15	2
57	151	20
58	19603	2574
59	530	69
60	31	4
61	1766319049	226153980
62	63	8
63	8	1
64	keine Lösung

n	x	y
65	129	16
66	65	8
67	48842	5967
68	33	4
69	7775	936
70	251	30
71	3480	413
72	17	2
73	2281249	267000
74	3699	430
75	26	3
76	57799	6630
77	351	40
78	53	6
79	80	9
80	9	1
81	keine Lösung
82	163	18
83	82	9
84	55	6
85	285769	30996
86	10405	1122
87	28	3
88	197	21
89	500001	53000
90	19	2
91	1574	165
92	1151	120
93	12151	1260
94	2143295	221064
95	39	4
96	49	5

n	x	y
97	62809633	6377352
98	99	10
99	10	1
100	keine Lösung
101	201	20
102	101	10
103	227528	22419
104	51	5
105	41	4
106	32080051	3115890
107	962	93
108	1351	130
109	158070671986249	15140424455100
110	21	2
111	295	28
112	127	12
113	1204353	113296
114	1025	96
115	1126	105
116	9801	910
117	649	60
118	306917	28254
119	120	11
120	11	1
121	keine Lösung
122	243	22
123	122	11
124	4620799	414960
125	930249	83204
126	449	40
127	4730624	419775
128	577	51

Das Rinderproblem des Archimedes

Bei der Lösung des Rinderproblems des Archimedes stößt man (wenn man geschickt rechnet)[1] auf die Pellsche Gleichung ${\displaystyle x^{2}-n\cdot y^{2}=1}$ zum Parameter ${\displaystyle n=4729494}$, die als Minimallösung

${\displaystyle x=109931986732829734979866232821433543901088049\approx 1{,}099\cdot 10^{44}}$

${\displaystyle y=\,\qquad 50549485234315033074477819735540408986340\approx 5{,}055\cdot 10^{40}}$

hat. Für das Rinderproblem braucht man allerdings nicht die Minimallösung, sondern eine (genauer: die kleinste) Lösung, bei der ${\displaystyle y}$ ein Vielfaches von ${\displaystyle 2\cdot 4657}$ ist.

Alternativ dazu kann man für die Pellsche Gleichung mit Parameter ${\displaystyle n=410286423278424=(2\cdot 4657)^{2}\cdot 4729494}$ die Minimallösung (jetzt ohne Nebenbedingung) suchen, die von folgender Größenordnung ist (vgl. o. g. Quelle):

${\displaystyle x\approx 3{,}7653\cdot 10^{103272}}$

${\displaystyle y\approx 1{,}8589\cdot 10^{103265}}$

Nicht zufällig ist ${\displaystyle 2\cdot 3{,}7653\cdot 10^{103272}\approx (2\cdot 1{,}0993199\cdot 10^{44})^{2329}}$, wodurch numerisch der Zusammenhang zwischen den Minimallösungen der beiden Pellschen Gleichungen hergestellt ist.

Für das Rinderproblem selbst ist als Zwischenergebnis die Zahl ${\displaystyle 4657\cdot 957\cdot y^{2}\approx 1{,}5401\cdot 10^{206537}}$ von Belang. Das Endergebnis ist das ${\displaystyle 50389082}$-Fache davon, also ca. ${\displaystyle 7{,}760\cdot 10^{206544}}$.

Literatur

• H. W. Lenstra Jr.: Solving the Pell Equation, Notices of the American Mathematical Society, Band 49, Heft 2, 2002, S. 182–192, online (PDF; 237 kB).
• M. J. Jacobson Jr., H. C. Williams: Solving the Pell Equation, CMS Books in Mathematics, Springer 2009, ISBN 978-0-387-84922-5
• Leonard Dickson: History of the theory of numbers, Washington D.C.: Carnegie Institution, 1920, Kapitel 12 (zur Geschichte der Pellschen Gleichung)

Weblinks

• Pell Equation in Wolfram's Math World (englisch)

Einzelnachweise

1. Siehe Artikel von H. W. Lenstra Jr.
2. So auch Dickson, History of the theory of numbers, Band 2, S. 341 (Kapitel 12 zur Geschichte der Pellschen Gleichung)
3. Noel Malcolm, Jacqueline Steadall: John Pell in his correspondence with Sir Charles Cavendish, Oxford UP, 2005, S. 320
4. André Weil, Number theory - An approach through history from Hammurapi to to Legendre, Birkhäuser 1984, S. 174
5. Dickson, History of the theory of numbers, Band 2, Carnegie Institution 1920, S. 353. Er benutzte seine Methode des unendlichen Abstiegs
6. Max Lahn, Jonathan Spiegel: Continued Fractions and Pell’s Equation. In: Mixed Math - Explorations in math and number theory. David Lowry-Duda, Mai 2016, abgerufen am 31. Mai 2020 (englisch).
7. A002350, auf oeis.org
8. A002349, auf oeis.org