Operatorassoziativität

Operatorassoziativität bezeichnet v​or allem i​n der Informatik, a​ber auch Mathematik u​nd Logik:

1. im engeren Sinn die Eigenschaft eines Operators ${\displaystyle *}$, dass die Reihenfolge, mit der mehrere Vorkommnisse des Operators in einem Ausdruck ausgewertet werden, keinen Einfluss auf das Endergebnis hat, für diesen Operator also das Assoziativgesetz ${\displaystyle (a*b)*c=a*(b*c)}$ gilt;
2. im weiteren Sinn die Festlegung, auf welche Weise ein nicht im engeren Sinn assoziativer Operator ausgewertet werden soll.

Zum Beispiel sind in der Mathematik die Addition und normale Multiplikation im engeren Sinn assoziative Operatoren, also ${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}$ bzw. ${\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$, ebenso die Matrixmultiplikation und in der Logik die Konjunktion ${\displaystyle (\land )}$ und Disjunktion ${\displaystyle (\lor )}$.

Bei nicht im engeren Sinn assoziativen Operatoren dagegen hängt d​as Ergebnis v​on der p​er Konvention festgelegten Operatorassoziativität im weiteren Sinn ab: Um z​u vermeiden, d​ass Ausdrücke m​it nebeneinander stehenden, gleichwertigen Operatoren o​hne Klammerung mehrdeutig sind, w​ird dabei festgelegt, o​b die betreffenden Operatoren v​on links n​ach rechts o​der umgekehrt v​on rechts n​ach links auszuwerten sind.

Linksassoziative Operatoren

Ein linksassoziativer Operator wird von links nach rechts ausgewertet[1][2][3][4][5] – ein binärer Operator ${\displaystyle *}$ gilt somit als linksassoziativ, wenn die Ausdrücke

${\displaystyle a*b*c}$	${\displaystyle$ :=(a*b)*c}
${\displaystyle a*b*c*d}$	${\displaystyle$ :={\bigl (}(a*b)*c{\bigr )}*d}
etc.

wie gezeigt auszuwerten sind. Beispiele für linksassoziative Operationen sind:

Subtraktion:	${\displaystyle a-b-c}$	${\displaystyle =(a-b)-c}$
Division:	${\displaystyle a:b:c}$	${\displaystyle =(a:b):c}$
	${\displaystyle a\div b\div c}$	${\displaystyle =(a\div b)\div c}$
	${\displaystyle a/b/c}$	${\displaystyle =(a/b)/c}$
Jedoch: Bei waagerechten Bruchstrichen bindet der kürzere Bruchstrich stärker:
	${\displaystyle {\frac {a}{\frac {b}{c}}}}$	${\displaystyle ={\frac {a}{{\bigl (}{\frac {b}{c}}{\bigr )}}}={\frac {a\cdot c}{b}}}$
	${\displaystyle {\frac {\frac {a}{b}}{c}}}$	${\displaystyle ={\frac {{\bigl (}{\frac {a}{b}}{\bigr )}}{c}}={\frac {a}{b\cdot c}}}$

Rechtsassoziative Operatoren

Umgekehrt wird ein rechtsassoziativer Operator ${\displaystyle *}$ von rechts nach links ausgewertet, so dass gilt:

${\displaystyle x*y*z}$	${\displaystyle$ :=}	${\displaystyle x*(y*z)}$
${\displaystyle w*x*y*z}$	${\displaystyle$ :=}	${\displaystyle w*(x*(y*z))}$
etc.

Beispiele für rechtsassoziative Operationen sind:[6]

• Die Potenzierung: ${\displaystyle x^{y^{z}}:=x^{(y^{z})}}$, denn ${\displaystyle (x^{y})^{z}}$ wäre einfach ${\displaystyle x^{yz}}$.
  Achtung: Taschenrechner werten Eingaben der Form x ^ y ^ z gleichwohl in der Regel linksassoziativ, also so aus, als ob sie in der Form (x ^ y) ^ z eingegeben worden wären – bei Ausdrücken dieser Form muss daher die Rechtsassoziativität der Potenzierung stets mittels eigener Klammersetzung erzwungen werden: x ^ (y ^ z).
• Die Subjunktion in der Logik wird von den meisten Autoren rechtssassoziativ verwendet, das heißt, dass ${\displaystyle P\rightarrow Q\rightarrow R}$ als ${\displaystyle P\rightarrow (Q\rightarrow R)}$ zu lesen ist.
• Der Zuweisungsoperator einiger Programmiersprachen, wie C: x = y = z ist gleichbedeutend mit x = (y = z), das heißt, der Variablen y wird zunächst der Wert von z zugewiesen und erst danach das Ergebnis dieser Zuweisung (also der zugewiesene Wert z) der Variablen x zugewiesen.

Nebenwirkungen in Programmiersprachen

In Programmiersprachen, d​ie Nebenwirkungen i​n Ausdrücken erlauben, i​st die Reihenfolge, i​n der d​iese Nebenwirkungen ausgeführt/wirksam werden, v​on Bedeutung. Einige Programmiersprachen l​egen diese Auswertungsreihenfolge strikt fest, andere (wie z. B. C o​der C++) lassen d​ie Auswertungsreihenfolge b​ei den meisten Infix-Operanden undefiniert. Beispiel:

int f1(void); int f2(void); int f3(void); int g(int); int h(void) { return g( f1() - f2() - f3() ); }

Es ist nicht definiert, ob zuerst f1, f2 oder f3 ausgeführt werden (und damit ihre Nebenwirkungen wirksam werden).

Siehe auch

• Operatorrangfolge

Einzelnachweise

1. Order of operations. (PDF; 265 kB) Rochester Institute of Technology
2. The Order of Operations. Education Place
3. The Order of Operations. Khan Academy (Video, ab 05:40)
4. Using Order of Operations and Exploring Properties. (PDF) Absatz 9 Virginia Department of Education
5. Vorrangregeln und Assoziativität. Technische Universität Chemnitz
6. Rules for Exponents and the Reasons for Them. (PDF; 344 kB) Western Michigan University