Oktant (Geometrie)

Ein Oktanten ist ein mathematischer Begriff, es handelt sich um eine Verallgemeinerung des Quadranten in drei Dimensionen. Im dreidimensionalen Raum wird ein Kartesisches Koordinatensystem durch die Koordinatenebene in 8 Teile zerlegt, diese Teile werden als Oktanten bezeichnet. Da die begrenzenden Koordinatenebenen in der Regel zu keinem Oktanten gehören, geben die jeweiligen Vorzeichen der Koordinaten eines Punktes im dreidimensionalen Raum an, in welchem der acht Oktanten ein Punkt liegt. Ein Oktant ist die dreidimensionale Ausprägung eines Orthant.[1]

Die drei Koordinatenebenen (x=0, y=0, z=0) unterteilen den Raum in acht Oktanten. Sie werden mit den acht Würfelecken-Koordinaten der Form (±,±,±) bezeichnet. In der horizontalen Koordinatenebene sieht man die vier Quadranten zwischen der x- und y-Achse. (Die Nummerierung der Punkte ist balanciert ternär mit der kleinsten Stelle links, also little-endian.)

Nummerierung

Der Oktant zwischen den drei positiven Achsen wird (analog zum ersten Quadranten) als erster bezeichnet. Es gibt aber keine Konvention für die Nummerierung der anderen Oktanten.

Die folgende Tabelle zeigt die Vorzeichen-Tupel zusammen mit möglichen Nummerierungen. Eine binäre Nummerierung mit – als 1 lässt sich leicht für verschiedene Dimensionen verallgemeinern. Eine binäre Nummerierung mit + als 1 definiert die gleiche Reihenfolge wie eine balanciert ternäre. Die römische Nummerierung der Quadranten bringt die Vorzeichen-Paare in Gray-Code-Ordnung. Deshalb ist die entsprechende Reihenfolge auch in der Tabelle der Oktanten.

Oktanten
Gray-
Code		 x y z Binär Bal.
ternär
− als 1 + als 1
<><><>
0 +++ 0077 1313
1 −++ 1463 11−5
3 +−+ 2255 77
2 −−+ 3641 5−11
7 ++− 4136 −511
6 −+− 5522 −7−7
4 +−− 6314 −115
5 −−− 7700 −13−13
Quadranten zum Vergleich
Röm. x y Binär Bal.
ternär
− als 1 + als 1
<><><>
I ++ 0033 44
II −+ 1221 2−2
IV +− 2112 −22
III −− 3300 −4−4


Little- und big-endian sind mit "<" und ">" bezeichnet.

Oktanten im zweidimensionalen Raum

Gelegentlich wird auch der zweidimensionale Raum in Oktanten unterteilt. Hierbei werden die vier Quadranten an den Geraden und geteilt. Die so definierten Oktanten werden entgegen dem Uhrzeigersinn, beginnend mit der unteren Hälfte des I. Quadranten von I bis VIII durchnummeriert.

Einzelnachweise
  1. Orthant. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8.
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