Orthant

Ein Orthant um einen Punkt ${\displaystyle p}$ bezeichnet in der Geometrie eine Teilmenge des ${\displaystyle d}$-dimensionalen Raumes ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$, die auf jeweils genau einer Seite der durch ${\displaystyle p}$ verlaufenden achsenparallelen Hyperebenen liegt. Ein Orthant ist, genauer gesagt, der Schnitt von ${\displaystyle d}$ zu jeweils einer Achse parallelen und durch ${\displaystyle p}$ verlaufenden Halbräumen des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$. Formaler:

${\displaystyle \Omega }$ ist genau dann ein Orthant um ${\displaystyle (p_{1},p_{2},\ldots ,p_{d})\in \mathbb {R} ^{d}}$, falls es ${\displaystyle d}$ Zahlen ${\displaystyle e_{i}\in \{-1,+1\}}$ (${\displaystyle i=1,\ldots ,d}$) mit ${\displaystyle \Omega =\left\{(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{d})\in \mathbb {R} ^{d}\mid \forall i=1,\ldots ,d\colon \quad e_{i}p_{i}\leq e_{i}x_{i}\right\}}$ gibt.

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Daraus folgt, dass es um einen Punkt des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ genau ${\displaystyle 2^{d}}$ Orthanten gibt.

Beispiele

• Im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ entsprechen die vier Quadranten des kartesischen Koordinatensystems den Orthanten um den Ursprung ${\displaystyle (0,0)}$.

• Im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ nennt man die acht Orthanten um den Ursprung ${\displaystyle (0,0,0)}$ entsprechend Oktanten.