Numerische Differentiation

In d​er Numerischen Mathematik bezeichnet m​an mit numerischer Differentiation d​ie näherungsweise Berechnung d​er Ableitung a​us gegebenen Funktionswerten, m​eist mittels e​ines Differenzenquotienten. Dies i​st nötig, f​alls die Ableitungsfunktion n​icht gegeben i​st oder d​ie Funktion selbst n​ur indirekt, beispielsweise über Messwerte, z​ur Verfügung steht. Im Gegensatz d​azu wird b​eim automatischen Differenzieren d​er Code, d​er die betrachtete Funktion definiert, u​m eine Ableitungsfunktion erweitert.

Alternativ k​ann man a​uch differenzierbare Approximationen v​on Funktionen w​ie zum Beispiel kubische Smoothing Splines verwenden. Ist m​an nicht a​m gesamten Funktionsverlauf, sondern n​ur an einzelnen Stellen interessiert, s​o existieren spezielle Formeln.

Differenzenquotient

→ Hauptartikel: Differenzenquotient

Fehlerverhalten der numerischen Differentiation, für kleine h ist der Fehler aufgrund von Auslöschung groß, während der Fehler bei größeren h (wo die Maschinengenauigkeit ausreicht) linear wächst.

Ein naheliegender Ansatz i​st die Verwendung d​es Vorwärtsdifferenzenquotienten:

${\displaystyle f'(x)={\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}+{\mathcal {O}}(h)}$.

${\displaystyle {\mathcal {O}}(h)}$ beschreibt, dass der Fehler linear mit der Schrittweite ${\displaystyle h}$ anwächst. Für weitere Details der ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$-Notation siehe Landau-Symbole. Ist der Abstand (h) der Funktionswerte gering, so wäre bei beliebig genauer Rechnung die Näherung zunächst besser. Allerdings tritt bei der Berechnung mittels Gleitkommazahlen Auslöschung auf, weswegen das gewählte h von der Maschinengenauigkeit abhängige Schranken nicht unterschreiten darf.

Eine bessere Näherung a​ls den Vorwärtsdifferenzenquotient erhält m​an durch Verwendung d​es zentralen Differenzenquotienten:

${\displaystyle f'(x)={\frac {f(x+h)-f(x-h)}{2h}}+{\mathcal {O}}(h^{2})}$

Für den zentralen Differenzenquotienten ist die optimale Schrittweite ${\displaystyle h}$ in der Größenordnung der dritten Wurzel der Maschinengenauigkeit[1].

Unter Benutzung von Taylorreihenentwicklungen höherer Ordnung lassen sich Finite-Differenzenquotienten mit kleinerem Fehlerterm herleiten, wenn ${\displaystyle |h|<1}$:

${\displaystyle f'(x)={\frac {1}{12h}}\left(-f(x+2h)+8f(x+h)-8f(x-h)+f(x-2h)\right)+{\mathcal {O}}(h^{4})}$

Numerische Differentiation unter Verwendung komplexer Variable

Ein Problem bei der Anwendung eines klassischen Differenzenquotienten ist die Wahl einer optimalen Schrittweite ${\displaystyle h}$. Ein zu großes ${\displaystyle h}$ führt zu Rundungsfehlern, während ein zu kleines ${\displaystyle h}$ zu Auslöschung führt. Die numerische Auslöschung infolge der Subtraktion kann durch die komplexwertige Approximation

${\displaystyle f'(x)={\frac {\Im (f(x+\mathrm {i} h))}{h}}+{\mathcal {O}}(h^{2})}$

verhindert werden.[2]

Herleitung

Wir betrachten die Taylorreihe von ${\displaystyle f(x+h)}$ am Entwicklungspunkt ${\displaystyle x}$

${\displaystyle f(x+h)=f(x)+hf'(x)+{\frac {h^{2}f''(x)}{2}}+{\frac {h^{3}f'''(x)}{6}}+\dots }$

Abbruch nach dem linearen Glied und Umstellung nach ${\displaystyle f'(x)}$ liefert den oben genannten Vorwärtsdifferenzenquotienten. Wir ersetzen nun die reelle Schrittweite ${\displaystyle h}$ durch die imaginäre Schrittweite ${\displaystyle \mathrm {i} h}$ und erhalten

${\displaystyle f(x+\mathrm {i} h)=f(x)+\mathrm {i} hf'(x)-{\frac {h^{2}f''(x)}{2}}-{\frac {\mathrm {i} h^{3}f'''(x)}{6}}+\dots }$

Betrachten w​ir nun n​ur den Imaginäranteil dieser Taylorreihe, s​o erhalten wir

${\displaystyle \Im (f(x+\mathrm {i} h))=hf'(x)-{\frac {h^{3}f'''(x)}{6}}+\dots }$

was bei Abbruch nach dem linearen Glied auf die oben angegebene Näherung der Ableitung mit dem Fehler ${\displaystyle {\mathcal {O}}(h^{2})}$ führt.

Numerische Differentiation verrauschter Daten

In praktischer Anwendung sind die Funktionswerte oft verrauscht. Das einfache Anwenden finiter Differenzenmethoden auf verrauschte Daten führt dazu, dass die erhaltene numerische Ableitung starke Ausreißer hat. Es gibt für verrauschte Daten spezielle Methoden um die Ableitung dennoch zuverlässig zu berechnen, beispielsweise kann die Datenreihe zunächst geglättet werden oder eine approximierende Funktion durch Ausgleichungsrechnung gefunden werden und anschließend die numerische Differentiation durchgeführt werden[3]. Bei der Kantendetektion werden beispielsweise Sobel-Operatoren verwendet, die gleichzeitig eine Glättung durchführen. Eine weitere Möglichkeit bietet die Verwendung von geglätteten Splines (auch Ausgleichssplines).

Literatur

• Hans Rudolf Schwarz: Numerische Mathematik. 4., überarbeitete und erweiterte Auflage. B. G. Teubner, Stuttgart 1997, ISBN 3-519-32960-3.
• Martin Hanke-Bourgeois: Grundlagen der numerischen Mathematik und des wissenschaftlichen Rechnens. B. G. Teubner, Stuttgart u. a. 2002, ISBN 3-519-00356-2.
• Martin Hermann: Numerische Mathematik, Band 2: Analytische Probleme. 4., überarbeitete und erweiterte Auflage. Walter de Gruyter Verlag, Berlin und Boston 2020. ISBN 978-3-11-065765-4.

Einzelnachweise

1. Tim Sauer: Numerical analysis. Third edition Auflage. [Hoboken, New Jersey] 2018, ISBN 978-0-13-469645-4, S. 248.
2. W. Squire, G. Trapp (1998) Using Complex Variables to Estimate Derivatives of Real Function, SIAM Rev., 40(1):110-112. doi:10.1137/S003614459631241X
3. Karsten Ahnert, Markus Abel: Numerical differentiation of experimental data: local versus global methods. In: Computer Physics Communications. Band 177, Nr. 10, November 2007, ISSN 0010-4655, S. 764–774, doi:10.1016/j.cpc.2007.03.009.