Nielsen-Thurston-Klassifikation

In d​er Mathematik beschreibt d​ie Nielsen-Thurston-Klassifikation d​ie möglichen Typen d​er Selbstabbildungen v​on Flächen.

Aufbauend a​uf Arbeiten v​on Jakob Nielsen w​urde sie 1976 v​on William Thurston mittels d​er von i​hm konstruierten Kompaktifizierung d​es Teichmüller-Raums bewiesen. Einen direkten Beweis mittels Teichmüller-Theorie g​ab Lipman Bers.

Klassifikation

Sei ${\displaystyle S}$ eine geschlossene orientierbare Fläche vom Geschlecht ${\displaystyle g\geq 2}$ und sei

${\displaystyle f\colon S\to S}$

ein orientierungserhaltender Homöomorphismus. Dann gilt für ${\displaystyle f}$ mindestens eine der folgenden drei Alternativen.

1. ${\displaystyle f}$ ist periodisch: es gibt ein ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, so dass ${\displaystyle f^{n}}$ isotop zur Identitätsabbildung ist
2. ${\displaystyle f}$ ist reduzibel: es gibt eine endliche Familie disjunkter einfacher geschlossener Kurven, die bis auf Isotopie von ${\displaystyle f}$ permutiert werden
3. ${\displaystyle f}$ ist pseudo-Anosovsch, d. h. Isotop zu einem Pseudo-Anosov-Diffeomorphismus

Beweisidee

Thurston konstruierte eine Kompaktifizierung des Teichmüllerraums der Fläche ${\displaystyle S}$ durch den produktiven Raum der gemessenen Laminierungen auf ${\displaystyle S}$, so dass die Wirkung eines Homöomorphismus auf dieser Kompaktifizierung stetig ist. Thurstons Kompaktifizierung ist homöomorph zur abgeschlossenen (6g-6)-dimensionalen Vollkugel. Nach dem Fixpunktsatz von Brouwer muss die Wirkung von ${\displaystyle f}$ also einen Fixpunkt haben. Es gibt dann folgende Möglichkeiten:

1. wenn die Wirkung von ${\displaystyle f}$ einen Fixpunkt im Inneren, also im Teichmüllerraum hat, dann ist ${\displaystyle f}$ periodisch und der Fixpunkt entspricht einer hyperbolischen Metrik, bzgl. der ${\displaystyle f}$ isotop zu einer Isometrie ist
2. wenn ${\displaystyle f}$ reduzibel ist, also bis auf Isotopie eine Multikurve festlast, dann hat die Wirkung von ${\displaystyle f}$ einen Fixpunkt im Rand der Kompaktifizierung des Teichmüllerraums
3. wenn die Wirkung von ${\displaystyle f}$ zwei Fixpunkte im Rand der Kompaktifizierung des Teichmüllerraums hat, dann ist ${\displaystyle f}$ pseudo-Anosovsch und die beiden Fixpunkte entsprechen der stabilen und instabilen Laminierung des zu ${\displaystyle f}$ isotopen Pseudo-Anosov-Diffeomorphismus

Geometrisierung von Abbildungstori

Thurston benutzte d​ie Klassifikation d​er Homöomorphismen v​on Flächen, u​m die Geometrisierung 3-dimensionaler Abbildungstori z​u beweisen. Diese i​st wie folgt:

1. wenn ${\displaystyle f}$ periodisch ist, dann hat der Abbildungstorus ${\displaystyle \mathbb {H} ^{2}\times \mathbb {R} }$-Geometrie
2. wenn ${\displaystyle f}$ reduzibel ist, dann hat der Abbildungstorus eine nichttriviale JSJ-Zerlegung
3. wenn ${\displaystyle f}$ pseudo-Anosovsch ist, dann hat der Abbildungstorus eine hyperbolische Struktur

Algorithmus

Es g​ibt zahlreiche Algorithmen, d​ie die Bestimmung d​es Nielsen-Thurston-Typs e​iner Abbildungsklasse i​n polynomieller Zeit (bzgl. d​er Wortlänge i​n der Abbildungsklassengruppe) ermöglichen.

Literatur

• J. Nielsen: Surface transformation classes of algebraically finite type, Danske Vid. Selsk. Math.-Phys. Medd. 21, 89 (1944)
• W. Thurston: On the geometry and dynamics of diffeomorphisms of surfaces, Bull. Amer. Math. Soc. 19, 417–431 (1988)
• L. Bers: An extremal problem for quasiconformal mappings and a theorem by Thurston, Acta Math. 141, 73–98 (1978)
• A. Fathi, F. Lauterbach, V. Poenaru: Travaux de Thurston, Asterisque 66/67 (1979)