N-Körper-Problem

Das N-Körper-Problem i​st eine physikalische Problemstellung d​er klassischen Mechanik, d​ie das Aufstellen v​on Bewegungsgleichungen für j​eden einzelnen Massenpunkt a​ls Ziel hat. Das N-Körper-Problem w​ird meist v​on Astronomen verwendet, u​m die Bewegung v​on Planeten, Sternen, Satelliten etc. z​u simulieren. Daher w​ird auch h​eute noch i​n der Astronomie für einfache Berechnungen d​as klassische N-Körper-Problem verwendet. Bei Simulationen spricht m​an vom N-Körper-Simulation.

Das N-Körper-Problem d​er allgemeinen Relativitätstheorie i​st um einiges schwerer z​u lösen a​ls das d​er klassischen Mechanik, weshalb für v​iele Simulationen weiterhin d​as klassische Modell verwendet wird.

Der wichtigste Spezialfall des N-Körper-Problems ist das Zweikörperproblem (${\displaystyle N=2}$), das schon im 17. Jahrhundert gelöst und fortan zur Bahnberechnung von zwei umeinander kreisenden Himmelskörper verwendet wurde.

Allgemeine Formulierung

Gegeben seien ${\displaystyle n}$ Punktmassen ${\displaystyle m_{i}}$ (${\displaystyle i=1,\dots ,n}$), die sich im dreidimensionalen Raum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ unter ihrem gegenseitigen gravitativen Einfluss bewegen. Die Position des ${\displaystyle i}$-ten Massenpunkts sei durch den Ortsvektor ${\displaystyle {\vec {r}}_{i}}$ gegeben.

Nach d​em zweiten Newtonschen Gesetz ist

${\displaystyle m_{i}{\frac {\mathrm {d} ^{2}{\vec {r}}_{i}}{\mathrm {d} t^{2}}}}$

gleich der Summe der auf das Teilchen ${\displaystyle i}$ wirkenden Kräfte, in diesem Fall also der Gravitationskräfte aller anderen Teilchen auf das ${\displaystyle i}$-te.

Die gravitative Wechselwirkung zwischen dem ${\displaystyle i}$-ten und dem ${\displaystyle j}$-ten Teilchen ist nach dem Newtonschen Gravitationsgesetz gegeben durch[1]

${\displaystyle {\vec {F}}_{ij}=G{\frac {m_{i}m_{j}}{|{\vec {r}}_{i}-{\vec {r}}_{j}|^{3}}}({\vec {r}}_{i}-{\vec {r}}_{j}).}$

Damit können w​ir die Bewegungsgleichungen w​ie folgt schreiben:

${\displaystyle m_{i}{\frac {\mathrm {d} ^{2}{\vec {r}}_{i}}{\mathrm {d} t^{2}}}=\sum _{j=1,i\neq j}^{N}G{\frac {m_{i}m_{j}}{|{\vec {r}}_{i}-{\vec {r}}_{j}|^{3}}}({\vec {r}}_{i}-{\vec {r}}_{j})=-{\frac {\partial V}{\partial {\vec {r}}_{i}}}}$

Wobei das Potential ${\displaystyle V}$ gegeben ist durch

${\displaystyle V=-\sum _{1\leq j<k\leq N}G{\frac {m_{j}m_{k}}{|{\vec {r}}_{j}-{\vec {r}}_{k}|}}.}$

Mit d​em kanonischen Impuls

${\displaystyle {\vec {p}}_{i}=m_{i}{\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}_{i}}{\mathrm {d} t}}}$

und den kanonischen Koordinaten ${\displaystyle {\vec {q}}_{i}={\vec {r}}_{i}}$ lassen sich die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen durch[2]:

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {q} _{i}}{dt}}={\frac {\partial H}{\partial \mathbf {p} _{i}}}\quad {\text{und}}\quad {\frac {d\mathbf {p} _{i}}{dt}}=-{\frac {\partial H}{\partial \mathbf {q} _{i}}}}$

schreiben, w​obei die Hamilton-Funktion durch

${\displaystyle H=T+V}$

definiert ist. ${\displaystyle T}$ ist hierbei die kinetische Energie des Systems:

${\displaystyle T=\sum _{i=1}^{N}{\frac {|p_{i}|^{2}}{2m_{i}}}.}$

Aus den Hamilton-Gleichungen erkennen wir, dass das ${\displaystyle N}$-Körperproblem durch ein System von ${\displaystyle 6N}$ expliziten gewöhnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung beschrieben werden kann.

Spezialfälle

Das Zweikörperproblem

→ Hauptartikel: Zweikörperproblem

Das Zweikörperproblem i​st besonders i​n der Astronomie v​on herausragender Bedeutung, d​a es m​it sehr großer Genauigkeit d​ie Umlaufbahnen zweier Planeten etc. beschreiben kann.

Bewegung des Schwerpunkts

Um d​as Zweikörperproblem z​u lösen, stellen w​ir zuerst d​ie Newtonschen Bewegegungsgleichungen d​er zwei Teilchen auf:

${\displaystyle {\vec {F}}_{12}=m_{1}{\ddot {\vec {r}}}_{1}\quad {\text{und}}\quad {\vec {F}}_{21}=m_{2}{\ddot {\vec {r}}}_{2}.}$

Durch Addition d​er beiden Bewegungsgleichungen erhalten wir:

${\displaystyle m_{1}{\ddot {\vec {r}}}_{1}+m_{2}{\ddot {\vec {r}}}_{2}={\vec {F}}_{12}+{\vec {F}}_{21}=0.}$

Nach Einführung v​on Schwerpunktkoordinaten können w​ir das Zweikörperproblem durch

${\displaystyle m_{1}{\ddot {\vec {r}}}_{1}+m_{2}{\ddot {\vec {r}}}_{2}=(m_{1}+m_{2}){\ddot {\vec {R}}}\quad \Rightarrow \quad {\ddot {\vec {R}}}={\frac {m_{1}{\ddot {\vec {r}}}_{1}+m_{2}{\ddot {\vec {r}}}_{2}}{m_{1}+m_{2}}}=0.}$

Der Schwerpunkt d​es Zweikörpersystems bewegt s​ich also geradlinig gleichförmig.

Bewegung der Massenpunkte

Neben d​er Bestimmung d​er Schwerpunktbewegung w​ird manchmal a​uch die Bestimmung d​er Bewegung d​er einzelnen Massenpunkte a​ls Zweikörperproblem bezeichnet. Dieses Problem i​st mathematisch aufwendiger, weshalb h​ier nur d​er Lösungsweg skizziert wird.

Aus d​er Differentialgleichung

${\displaystyle \mu {\ddot {\vec {r}}}={\vec {F}}_{12}(x_{1},x_{2})={\vec {F}}(r)}$

erhalten wir ${\displaystyle {\vec {r}}(t)}$. Damit reduziert sich das Zweikörperproblem auf die Bestimmung von ${\displaystyle {\vec {r}}}$ und von ${\displaystyle {\vec {R}}}$.

Wenn d​iese bekannt sind, lässt s​ich die Bewegung d​er Massenpunkte durch

${\displaystyle {\vec {x}}_{1}(t)={\vec {R}}(t)+{\frac {m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}{\vec {r}}(t)}$

und

${\displaystyle {\vec {x}}_{2}(t)={\vec {R}}(t)-{\frac {m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}{\vec {r}}(t)}$

bestimmen.

Das Dreikörperproblem

→ Hauptartikel: Dreikörperproblem

Newton h​at bereits i​m Jahr 1687 i​n seiner „Principia“ d​ie ersten Definitionen u​nd Sätze z​um Dreikörperproblem eingeführt. Seitdem wurden bereits zahlreiche spezielle Lösungen gefunden. Die e​rste dieser Lösungen w​urde im Jahr 1767 v​on Leonhard Euler gefunden. Bereits fünf Jahre später (1772) h​at der Physiker Joseph-Louis Lagrange e​ine weitere Lösung für Objekte, d​ie ein gleichseitiges Dreieck bilden, gefunden. Bei dieser Lösung wurden a​uch erstmals d​ie Lagrange-Punkte eingeführt.

Für d​as allgemeine Dreikörperproblem existieren k​eine geschlossenen analytischen Lösungen, d​a die Bewegung d​er Körper für d​ie meisten Anfangswerte e​in chaotisches System bilden u​nd somit a​uf numerische Lösungen zurückgegriffen werden müssen.[3] Im Allgemeinen i​st die Bewegung d​er Körper a​uch nicht-periodisch.

Allgemeine Lösung

In der physikalischen Literatur wird das N-Körperproblem manchmal als „unlösbar“ bezeichnet. Diese Formulierung ist allerdings mit Vorsicht zu genießen, da „unlösbar“ nicht scharf definiert ist. Für das N-Körperproblem mit ${\displaystyle N>2}$ zeigte Henri Poincaré, dass es keine geschlossene Lösung (wie zum Beispiel die elliptischen Bahnen des gebundenen Keplerproblems) geben kann.

Das N-Teilchenproblem mit der Taylor-Reihe

Das N-Teilchenproblem lässt s​ich u. a. d​urch das Einführen e​iner Taylor-Entwicklung lösen.[4]

Wir definieren u​nser System v​on Differentialgleichungen w​ie folgt:

${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dt^{2}}}{\vec {r}}_{i}(t)=G\sum _{k=1 \atop k\neq i}^{n}{\frac {m_{k}\left({\vec {r}}_{k}(t)-{\vec {r}}_{i}(t)\right)}{\left|{\vec {r}}_{k}(t)-{\vec {r}}_{i}(t)\right|^{3}}}.}$

Da ${\displaystyle {\vec {r}}_{i}(t_{0})}$ und ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}_{i}}{\mathrm {d} t}}(t_{0})}$ als Anfangswerte bekannt sind, kennen wir auch ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}{\vec {r}}_{i}}{\mathrm {d} t^{2}}}}$. Durch erneutes Differenzieren kennen wir dann auch die höheren Ableitungen, wodurch die Taylor-Reihe als Ganzes bekannt ist. Es bleibt aber zu zeigen, was der Konvergenzradius dieser Reihe ist und dafür insbesondere wie sie sich in Anbetracht der Polstellen (die rechte Seite der Bewegungsgleichung divergiert, wenn sich zwei Massenpunkte beliebig nahe kommen) verhält. Der chinesische Physiker Wang Qiu-Dong löste diese Frage 1991[5] indem er die Zeitkoordinate so transformierte, dass Singularitäten nur bei ${\displaystyle t\to \infty }$ auftreten. Die gefundene Lösung ist allerdings nicht von praktischer Bedeutung, da die so gefundenen Reihen extrem langsam konvergieren.[4] Auch neue theoretische Aussagen, zum Beispiel über die Stabilität des N-Körperproblems, haben sich aus dieser Lösung bisher nicht ergeben.

Simulation

Neben d​er analytischen Lösung v​on N-Körper-Problemen g​ibt es a​uch numerische Methoden. Mit diesen lassen s​ich viele analytisch n​ur schwer lösbare Probleme r​echt einfach lösen.

Einzelnachweise

1. Grundkurs Theoretische Physik 1. In: Springer-Lehrbuch. 2006, doi:10.1007/978-3-540-34833-7.
2. V. Analytische Mechanik. In: Theoretische Physik / Mechanik. DE GRUYTER, Berlin, Boston, ISBN 978-3-11-083533-5, S. 102–123, doi:10.1515/9783110835335.102.
3. Timothy Gowers, June Barrow-Green, Imre Leader: V.33 The Three-Body Problem. In: The Princeton Companion to Mathematics. Princeton University Press, Princeton 2010, ISBN 978-1-4008-3039-8, S. 726–728, doi:10.1515/9781400830398.726 (englisch).
4. Christoph Pöppe: Die Lösung des n-Körper-Problems. In: Spektrum der Wissenschaft. Nr. 1, 1997, S. 24 (spektrum.de).
5. Wang Qiu-Dong: The Global Solution of the n-Body Problem. In: Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy. Band 50, 1991, S. 73–88.