Multinomiale logistische Regression

In der Statistik ist die multinomiale logistische Regression, auch multinomiale Logit-Regression (MNL), polytome logistische Regression, polychotome logistische Regression, Softmax-Regression oder Maximum-Entropie-Klassifikator genannt, ein regressionsanalytisches Verfahren. Sie „dient zur Schätzung von Gruppenzugehörigkeiten bzw. einer entsprechenden Wahrscheinlichkeit hierfür.“[1] Die Antwortvariable (auch abhängige Variable, AV) ist dabei eine nominalskalierte Variable (Unterform der kategorialen Variable, bei der die Kategorien nicht in eine sinnvolle Reihenfolge zu bringen sind). Im Falle einer ordinalskalierten AV (ebenfalls kategorial, aber in Reihenfolge mit gleichmäßigen Abständen zwischen den Kategorien zu bringen) spricht man von einer geordneten (bzw. ordinalen) logistischen Regression. Bei gegebener verhältnis- oder intervallskalierter AV kann dagegen eine (Multiple) Lineare Regression gerechnet werden.

Beschreibung des Verfahrens

Es handelt sich um eine spezielle Form der logistischen Regression, bei der die Antwortvariable $Y_{i}$ ein nominales Skalenniveau mit mehr als zwei Ausprägungen haben darf $Y_{i}\in \{1,\ldots ,c+1\}$ . Zusätzlich ist der Vektor der Regressoren $\mathbf {x} _{i}^{\top }=(1,x_{i1},\ldots ,x_{ik})$ gegeben. Dabei wird für jede der Ausprägungen der abhängigen Variablen (bis auf eine Referenzkategorie) ein eigenes Regressionsmodell ausgegeben. Die Eintrittswahrscheinlichkeit für jede Kategorie $r$ ist wie folgt spezifiziert:[2]

\pi _{ir}=\Pr(Y_{i}=r)={\frac {\exp \left(\mathbf {x} _{i}^{\top }{\boldsymbol {\beta }}_{r}\right)}{1+\sum _{s=1}^{c}\exp \left(\mathbf {x} _{i}^{\top }{\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)}}\quad ,r=1,\ldots ,c

,

mit den linearen Prädiktoren $\eta _{ir}=\beta _{r0}+\beta _{r1}x_{i1}+\beta _{r2}x_{i2}+\ldots +\beta _{rk}x_{ik}=\mathbf {x} _{i}^{\top }{\boldsymbol {\beta }}_{r}$ bzw. $\eta _{is}=\beta _{s0}+\beta _{s1}x_{i1}+\beta _{s2}x_{i2}+\ldots +\beta _{sk}x_{ik}=\mathbf {x} _{i}^{\top }{\boldsymbol {\beta }}_{s}$ und $\pi _{ir}=h_{r}(\eta _{ir},\ldots ,\eta _{ic})\quad ,r=1,\ldots ,c$ der Antwortfunktion, d. h. der Umkehrfunktion der Kopplungsfunktion.[3] Für die Referenzkategorie gilt somit:

\pi _{i,c+1}=1-\pi _{i1}-\ldots -\pi _{ic}={\frac {1}{1+\sum _{s=1}^{c}\exp \left(\mathbf {x} _{i}^{\top }{\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)}}

.

Fallbeispiel

Das Beispiel behandelt die Wahlabsicht einer Person in Abhängigkeit personenspezifischer Faktoren. Aus Umfragedaten sei die Wahlabsicht einer Person nach verschiedenen Parteien bekannt (abhängige kategoriale Variable). Diese soll erklärt werden durch verschiedene Faktoren (deren Skalenniveau unerheblich ist), beispielsweise Alter, Geschlecht und Bildung.

Weblinks

Einzelnachweise

Archivierte Kopie (Memento vom 27. März 2014 im Internet Archive)
Ludwig Fahrmeir, Thomas Kneib, Stefan Lang, Brian Marx: Regression: models, methods and applications. Springer Science & Business Media, 2013, ISBN 978-3-642-34332-2, S. 330.
Ludwig Fahrmeir, Thomas Kneib, Stefan Lang, Brian Marx: Regression: models, methods and applications. Springer Science & Business Media, 2013, ISBN 978-3-642-34332-2, S. 344.

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[1] Archivierte Kopie (Memento vom 27. März 2014 im Internet Archive)

[2] Ludwig Fahrmeir, Thomas Kneib, Stefan Lang, Brian Marx: Regression: models, methods and applications. Springer Science & Business Media, 2013, ISBN 978-3-642-34332-2, S. 330.

[3] Ludwig Fahrmeir, Thomas Kneib, Stefan Lang, Brian Marx: Regression: models, methods and applications. Springer Science & Business Media, 2013, ISBN 978-3-642-34332-2, S. 344.