Milnor-Wood-Ungleichung

Im mathematischen Gebiet d​er Differentialgeometrie g​ibt die Milnor-Wood-Ungleichung e​in Hindernis für d​ie Existenz e​ines flachen Zusammenhangs a​uf einem Faserbündel.

Sätze von Milnor und Wood

Die klassische Milnor-Wood-Ungleichung betrifft (orientierte) flache Kreisbündel über einer Fläche ${\displaystyle \Sigma }$, deren Monodromie also durch einen Homomorphismus ${\displaystyle \rho \colon \pi _{1}\Sigma \to Homeo^{+}(S^{1})}$ gegeben ist. Eine stärkere Ungleichung erhält man für lineare flache Kreisbündel, also mit Monodromie ${\displaystyle \rho \colon \pi _{1}\Sigma \to SL(2,\mathbb {R} )}$

Satz (Milnor): Sei ${\displaystyle \Sigma }$ eine geschlossene, orientierbare Fläche vom Geschlecht ${\displaystyle g}$. Für die Eulerklasse eines linearen flachen Kreisbündels ${\displaystyle \pi \colon E\to \Sigma }$ über ${\displaystyle \Sigma }$ gilt

${\displaystyle \vert eu(E)\vert \leq g-1}$.

Insbesondere hat das Tangentialbündel einer geschlossenen, orientierbaren Fläche vom Geschlecht ${\displaystyle g\geq 2}$ keinen flachen Zusammenhang.

Satz (Wood): Sei ${\displaystyle \Sigma }$ eine geschlossene, orientierbare Fläche vom Geschlecht ${\displaystyle g}$. Für die Euler-Klasse eines flachen Kreisbündels ${\displaystyle \pi \colon E\to \Sigma }$ über ${\displaystyle \Sigma }$ gilt

${\displaystyle \vert eu(E)\vert \leq 2g-2}$.

Der Satz von Milnor folgt aus dem Satz von Wood, weil man zu einer Darstellung ${\displaystyle \pi _{1}\Sigma \to SL(2,\mathbb {R} )}$ vermöge der 2-fachen Überlagerung ${\displaystyle SL(2,\mathbb {R} )\to PSL(2,\mathbb {R} )}$ eine Darstellung ${\displaystyle \pi _{1}\Sigma \to PSL(2,\mathbb {R} )\subset Homeo^{+}(S^{1})}$ bekommt, deren Eulerzahl gerade die Hälfte der Eulerzahl der ursprünglichen Darstellung ist.

Aus dem Satz von Goldman folgt, dass die Darstellungen ${\displaystyle \rho \colon \pi _{1}\Sigma \to PSL(2,\mathbb {R} )}$ mit ${\displaystyle eu(E_{\rho })=\pm (2g-2)}$ genau die diskreten und treuen Darstellungen sind.

Beschränkte Kohomologie

Die Beweise von Milnor und Wood benutzten Abschätzungen für Kommutatoren in ${\displaystyle SL(2,\mathbb {R} )}$ bzw. ${\displaystyle Homeo^{+}(S^{1})}$. Ein einfacherer auf Ghys und Jekel zurückgehender Beweis benutzt beschränkte Kohomologie: die universelle Eulerklasse in ${\displaystyle H^{2}(Homeo^{+}(S^{1});\mathbb {R} )}$ lässt sich durch einen beschränkten Kozykel der Norm 1/2 repräsentieren.

Verallgemeinerungen

Höherdimensionale Bündel

Satz (Sullivan-Smillie): Für die Euler-Klasse eines flachen ${\displaystyle GL^{+}(n,\mathbb {R} )}$-Bündels ${\displaystyle \pi \colon E\to M}$ über einer geschlossenen, orientierbaren Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ gilt die Ungleichung

${\displaystyle \vert eu(E)\vert \leq {\frac {1}{2^{n}}}\parallel M\parallel }$

für die Eulerklasse ${\displaystyle eu(E)}$ und das simpliziale Volumen ${\displaystyle \parallel M\parallel }$.

Man sagt, dass eine Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ der Milnor-Wood-Ungleichung mit Konstante ${\displaystyle MW(M)\in \mathbb {R} }$ genügt, wenn für jedes flache ${\displaystyle GL^{+}(n,\mathbb {R} )}$-Bündel die Ungleichung

${\displaystyle \vert eu(E)\vert \leq MW(M)\vert \xi (M)\vert }$

für die Eulerklasse ${\displaystyle eu(E)}$ und die Euler-Charakteristik ${\displaystyle \chi (M)}$ gilt. Aus dem Satz von Milnor folgt ${\displaystyle MW(\Sigma _{g})={\frac {1}{2}}}$ und aus einem Satz von Bucher-Gelander ${\displaystyle MW(M_{1}\times M_{2})=MW(M_{1})MW(M_{2})}$.

Toledo-Invariante

Sei ${\displaystyle X=G/K}$ ein Hermitescher symmetrischer Raum nichtkompakten Typs vom Rang ${\displaystyle p}$ und ${\displaystyle \omega }$ die Kählerform der Bergman-Metrik. Dann gilt für eine stetige Abbildung ${\displaystyle f\colon \Sigma \to X}$ einer Fläche ${\displaystyle \Sigma }$ vom Geschlecht ${\displaystyle g}$ die Ungleichung

${\displaystyle \vert \int _{\Sigma }f^{*}\omega \vert \leq 4p(g-1)\pi }$.

Diese Ungleichung lässt sich interpretieren als Abschätzung für die Norm der Kählerklasse (und damit der Toledo-Invariante) in beschränkter Kohomologie. Sie verallgemeinert die Abschätzung der Eulerklasse für ${\displaystyle G/K=SL(2,\mathbb {R} )/SO(2)}$.

Literatur

• J. Milnor: On the existence of a connection of curvature zero, Comm. Math. Helv. 21, 215–223 (1958)
• J. Wood: Bundles with totally disconnected structure group, Comm. Math. Helv. 46, 257–273 (1971)
• W. Goldman: Topological components of spaces of representations, Invent. Math. 93, 557–607 (1988)
• M. Burger, A. Iozzi, A. Wienhard: Surface group representations with maximal Toledo invariant, Ann. Math. 172, 517–566 (2010)
• T. Hartnick, A. Ott: Milnor-Wood type inequalities for Higgs bundles, online (PDF; 383 kB)