Hermitescher symmetrischer Raum

In d​er Mathematik i​st ein hermitescher symmetrischer Raum e​ine hermitesche Mannigfaltigkeit, d​ie gleichzeitig e​in symmetrischer Raum ist. Beispiele s​ind die riemannsche Zahlenkugel, d​ie hyperbolische Ebene o​der der siegelsche Halbraum. Hermitesche symmetrische Räume werden i​n der algebraischen Geometrie a​ls Parameterräume für d​ie Variation v​on Hodge-Strukturen verwendet.

Automorpismen hermitescher symmetrischer Räume

Für einen Hermiteschen symmetrischen Raum ${\displaystyle M}$ bezeichne ${\displaystyle Hol(M)}$ die Gruppe der biholomorphen Abbildungen, ${\displaystyle Isom(M)}$ die Gruppe der riemannschen Isometrien und ${\displaystyle Is(M)=Hol(M)\cap Isom(M)}$ die Gruppe der holomorphen Isometrien.

Wenn ${\displaystyle M}$ von nichtkompaktem Typ ist, dann geben die Inklusionen

${\displaystyle Hol(M)\supset Is(M)\subset Isom(M)}$

Gleichheiten d​er Zusammenhangskomponenten d​er Eins

${\displaystyle Hol^{+}(M)=Is^{+}(M)=Isom^{+}(M)}$.

Dann wirkt ${\displaystyle Hol^{+}(M)}$ transitiv auf ${\displaystyle M}$ mit Stabilisator ${\displaystyle K_{p}\subset Hol^{+}(M)}$ eines Punktes ${\displaystyle p\in M}$, und man hat ${\displaystyle Hol^{+}(M)/K_{p}=M}$.

Sei ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ die Lie-Algebra von ${\displaystyle Hol(M)^{+}}$, dann gibt es eine eindeutige zusammenhängende algebraische Gruppe ${\displaystyle G\subset GL({\mathfrak {h}})}$ mit

${\displaystyle G(\mathbb {R} )^{+}=G(\mathbb {R} )\cap Hol(M)=Hol(M)^{+}.}$

Die algebraische Gruppe ${\displaystyle G}$ ist halbeinfach und ${\displaystyle G(\mathbb {R} )}$ ist nichtkompakt.

Klassifikation kompakter hermitescher symmetrischer Räume

Kompakte hermitesche symmetrische Räume s​ind Produkte v​on irreduziblen kompakten Hermiteschen symmetrischen Räumen.

Die irreduziblen kompakten hermiteschen symmetrischen Räume ${\displaystyle H/K}$ lassen sich wie folgt klassifizieren.

${\displaystyle G}$	${\displaystyle H}$	${\displaystyle K}$	komplexe Dimension	Rang	geometrische Interpretation
${\displaystyle \mathrm {SL} (p+q,\mathbb {C} )}$	${\displaystyle \mathrm {SU} (p+q)\,}$	${\displaystyle \mathrm {S} (\mathrm {U} (p)\times \mathrm {U} (q))}$	${\displaystyle pq}$	${\displaystyle \min(p,q)}$	Grassmann-Mannigfaltigkeit der komplex ${\displaystyle p}$-dimensionalen Unterräume des ${\displaystyle \mathbb {C} ^{p+q}}$
${\displaystyle \mathrm {SO} (2n,\mathbb {C} )}$	${\displaystyle \mathrm {SO} (2n)\,}$	${\displaystyle \mathrm {U} (n)\,}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}n(n-1)}$	${\displaystyle [{\tfrac {1}{2}}n]}$	Raum der orthogonalen komplexen Strukturen auf dem ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$
${\displaystyle \mathrm {Sp} (2n,\mathbb {C} )\,}$	${\displaystyle \mathrm {Sp} (n)\,}$	${\displaystyle \mathrm {U} (n)\,}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}n(n+1)}$	${\displaystyle n}$	Raum der mit dem Skalarprodukt kompatiblen komplexen Strukturen auf dem ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$
${\displaystyle \mathrm {SO} (n+2,\mathbb {C} )}$	${\displaystyle \mathrm {SO} (n+2)\,}$	${\displaystyle \mathrm {SO} (n)\times \mathrm {SO} (2)}$	${\displaystyle n}$	2	Grassmann-Mannigfaltigkeit der orientierten, reell ${\displaystyle 2}$-dimensionalen Unterräume des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+2}}$
${\displaystyle E_{6}^{\mathbb {C} }\,}$	${\displaystyle E_{6}\,}$	${\displaystyle \mathrm {SO} (10)\times \mathrm {SO} (2)}$	16	2	Komplexifizierung ${\displaystyle (\mathbb {C} \otimes \mathbb {O} )P^{2}}$ der Cayley-projektiven Ebene ${\displaystyle \mathbb {O} P^{2}}$
${\displaystyle E_{7}^{\mathbb {C} }}$	${\displaystyle E_{7}\,}$	${\displaystyle E_{6}\times \mathrm {SO} (2)}$	27	3	Raum derjenigen symmetrischen Unterräume der Rosenfeld-projektiven Ebene ${\displaystyle (\mathbb {H} \otimes \mathbb {O} )P^{2}}$, die isomorph zu ${\displaystyle (\mathbb {C} \otimes \mathbb {O} )P^{2}}$ sind

Weblinks

• J. Milne: Introduction to Shimura Varieties