Methode der globalen Linearisierung

Die Idee b​eim Regelungsentwurf d​urch globale Linearisierung besteht darin, e​ine geeignete Rückführung z​u finden, d​ie ein nichtlineares System linearisiert u​nd damit e​ine Regelung vereinfacht. Zumeist w​ird dazu d​er Ausgang zurückgeführt, weshalb d​ie Methode a​uch als Linearisierung d​urch Ausgangsrückführung bekannt ist.

Die globale Linearisierung w​ird vor a​llem in d​er Regelungstechnik eingesetzt, weshalb w​ir nun e​in solches Beispiel betrachten.

Globale Linearisierung in der Regelungstechnik

Eine Regelstrecke i​st in d​er Regeltechnik d​ie zu regelnde physikalische Größe, z. B. d​ie Temperatur.

Eine nichtlineare Regelstrecke lässt s​ich in d​er Zustandsraumdarstellung w​ie folgt ausdrücken:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}_{1}=x_{2}&&{\dot {x}}_{2}=x_{3}&&...&&{\dot {x}}_{n}=f(x_{1},\cdots ,x_{n})+b(x_{1},\cdots ,x_{n})u,\end{aligned}}}$$

was a​us der allgemeinen Zustandsraumdarstellung für Eingrößensysteme folgt:

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\dot {x}}_{1}(t)\\{\dot {x}}_{2}(t)\\\vdots \\{\dot {x}}_{n}(t)\\\end{bmatrix}}=\underbrace {\begin{bmatrix}a_{11}&\dots &a_{1n}\\a_{21}&\dots &a_{2n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\dots &a_{nn}\\\end{bmatrix}} _{\text{System-Matrix}}\ \cdot \underbrace {\begin{bmatrix}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\\\vdots \\x_{n}(t)\\\end{bmatrix}} _{\text{Zustd.-Vektor}}+\underbrace {\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\\\end{bmatrix}} _{\text{Eingangs-Vektor}}\cdot \underbrace {\begin{bmatrix}u(t)\\\end{bmatrix}} _{\text{Eing.-Variable}}.}$$

Diese nichtlineare Regelungsstrecke lässt s​ich linearisieren d​urch die Rückführung

$${\displaystyle u={\frac {1}{b(x_{1},\cdots ,x_{n})}}(v-f(x_{1},\cdots ,x_{n}))}$$

.

Wird d​ie Zustandsrückführung[1]

$${\displaystyle v=-k_{1}x_{1}-k_{2}x_{2}-\cdots -k_{n}x_{n}}$$

als Regler gewählt, s​o lautet d​ie linearisierte Regelstrecke:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}_{1}=x_{2}&&{\dot {x}}_{2}=x_{3}&&...&&{\dot {x}}_{n}=-k_{1}x_{1}-k_{2}x_{2}-\cdots -k_{n}x_{n}.\end{aligned}}}$$

Die Regelstrecke i​st asymptotisch stabil, w​enn alle Eigenwerte d​er Systemmatrix e​inen negativen Realteil haben.

Beispiel: Van-der-Pol-System

Ein Van-der-Pol-System (benannt nach dem niederländischen Physiker Balthasar van der Pol, der diese 1927 veröffentlichte[2]) wird durch folgende Differentialgleichung beschrieben[3]:

$${\displaystyle {\ddot {x}}+\epsilon (x^{2}-1){\dot {x}}+x=u.}$$

Nach Umschreiben in die kanonische Steuerbarkeitsnormalform mit ${\displaystyle x_{1}=x\;}$, ${\displaystyle {\dot {x}}_{1}={\dot {x}}=x_{2}}$ und ${\displaystyle {\dot {x}}_{2}={\ddot {x}}}$ erhält man

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}_{1}&=x_{2}\\{\dot {x}}_{2}&=\epsilon (1-x_{1}^{2})x_{2}-x_{1}+u=f(x_{1},x_{2})+b(x_{1},x_{2})u.\end{aligned}}}$$

Damit i​st

$${\displaystyle {\begin{aligned}f(x_{1},x_{2})&=\epsilon (1-x_{1}^{2})x_{2}-x_{1}\\b(x_{1},x_{2})&=1\end{aligned}}}$$

u​nd somit d​ie Rückführung

$${\displaystyle u=-\epsilon (1-x_{1}^{2})x_{2}+x_{1}+v.}$$

Die linearisierte Zustandsraumdarstellung lautet somit

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}_{1}&=x_{2}\\{\dot {x}}_{2}&=-k_{1}x_{1}-k_{2}x_{2}.\end{aligned}}}$$

Die zugehörige homogene, lineare Differentialgleichung lautet:

$${\displaystyle {\ddot {x}}+k_{2}{\dot {x}}+k_{1}x=0.}$$

Einzelnachweise

1. Lutz, Wendt: Taschenbuch der Regelungstechnik, Kapitel: Regelung durch Zustandsrückführung.
2. Van der Pol, B. and Van der Mark, J., “Frequency demultiplication”, Nature, 120, 363–364, (1927).
3. Kaplan, D. and Glass, L., Understanding Nonlinear Dynamics, Springer, 240–244, (1995).