Mehrdimensionaler zentraler Grenzwertsatz

Der mehrdimensionale zentrale Grenzwertsatz, auch zentraler Grenzwertsatz in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ oder multivariater zentraler Grenzwertsatz[1] genannt, ist ein mathematischer Satz aus der Wahrscheinlichkeitstheorie. Er gehört zu den zentralen Grenzwertsätzen, verallgemeinert den zentralen Grenzwertsatz von Lindeberg-Lévy auf höhere Dimensionen und beschäftigt sich mit der Konvergenz in Verteilung von reskalierten Summen von Zufallsvektoren gegen die mehrdimensionale Normalverteilung.

Aussage

Gegeben sei eine Folge ${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ von unabhängig identisch verteilten Zufallsvektoren in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ mit dem Nullvektor ${\displaystyle \mathbf {0} }$ als Erwartungswertvektor und positiv definiter Kovarianzmatrix ${\displaystyle C\in \mathbb {R} ^{d\times d}}$.

Dann konvergiert d​ie Folge d​er reskalierten Summen

${\displaystyle S_{n}:={\frac {1}{\sqrt {n}}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$

in Verteilung gegen einen Zufallsvektor ${\displaystyle X}$, der ${\displaystyle d}$-dimensional normalverteilt mit Erwartungswertvektor ${\displaystyle \mathbf {0} }$ und Kovarianzmatrix ${\displaystyle C}$ ist.

Beweisskizze

Eine Möglichkeit des Beweises reduziert den ${\displaystyle d}$-dimensionalen Fall auf den eindimensionalen Fall. Für beliebiges ${\displaystyle t\in \mathbb {R} ^{d}}$ sei

${\displaystyle X_{n}^{t}:=\langle t;X_{n}\rangle }$.

Dabei bezeichnet ${\displaystyle \langle \cdot$ ;\cdot \rangle } das Standardskalarprodukt. Dann ist

${\displaystyle \operatorname {E} (X_{n}^{t})=0}$ und ${\displaystyle \operatorname {Var} (X_{n}^{t})=\langle t;Ct\rangle }$.

Also konvergiert für alle ${\displaystyle t\in \mathbb {R} ^{d}}$ nach dem zentralen Grenzwertsatz von Lindeberg-Lévy die Folge ${\displaystyle X_{n}^{t}}$ gegen einen reelle Zufallsvariable ${\displaystyle X^{t}}$, die normalverteilt mit Erwartungswert 0 und Varianz ${\displaystyle \langle t;Ct\rangle }$ ist. Nach dem Satz von Cramér-Wold ist dies äquivalent zur Konvergenz in Verteilung der Folge von Zufallsvektoren.

Dass die Folge von Vektoren gegen die mehrdimensionale Normalverteilung konvergiert, folgt aus der Tatsache, dass ein Zufallsvektor ${\displaystyle X}$ genau dann mehrdimensional normalverteilt ist, wenn die ${\displaystyle X^{t}=\langle t;X\rangle }$ für alle ${\displaystyle t\in \mathbb {R} ^{d}}$ eindimensional normalverteilt sind (mit passendem Erwartungswert und passender Varianz).

Weblinks

• Yu.V. Prokhorov: Central limit theorem. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online).

Literatur

• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.

Einzelnachweise

1. Claudia Czado, Thorsten Schmidt: Mathematische Statistik. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-17260-1, S. 27–28, doi:10.1007/978-3-642-17261-8.