Mechanische Ähnlichkeit

Die mechanische Ähnlichkeit i​st ein Konzept i​n der klassischen theoretischen Mechanik d​es Lagrange-Formalismus. Mithilfe d​er mechanischen Ähnlichkeit können, o​hne dass d​ie Bewegungsgleichungen gelöst werden müssten, d​ie mechanischen Grundgrößen verschiedener Bahnkurven i​n einem konservativen Kraftfeld zueinander i​n Relation gesetzt werden.

Voraussetzung für d​ie Anwendbarkeit d​es Konzepts i​st ein skaleninvariantes Potential, a​us dem d​as Kraftfeld hervorgeht.

Aussage

Sei ${\displaystyle V(x_{1},\dots ,x_{n})}$ ein skaleninvariantes Potential vom Grad ${\displaystyle k}$; d. h. für ein beliebiges ${\displaystyle \alpha }$ gelte ${\displaystyle \textstyle V(\alpha x_{1},\dots ,\alpha x_{n})=\alpha ^{k}V(x_{1},\dots ,x_{n})}$.

Dann folgt für zwei Bahnkurven in diesem Potential für jede Größe der Dimension der Koordinaten ${\displaystyle l}$ bzw. ${\displaystyle l'}$ und jede Größe der Dimension Zeit ${\displaystyle t}$ bzw. ${\displaystyle t'}$:

${\displaystyle {\frac {t'}{t}}=\left({\frac {l'}{l}}\right)^{1-{\frac {k}{2}}}}$

Daraus abgeleitet folgen die entsprechenden Relationen für die Geschwindigkeiten ${\displaystyle v}$, die Energien ${\displaystyle E}$ und die Drehimpulse ${\displaystyle L}$:

${\displaystyle {\frac {v'}{v}}=\left({\frac {l'}{l}}\right)^{\frac {k}{2}}\qquad {\frac {E'}{E}}=\left({\frac {l'}{l}}\right)^{k}\qquad {\frac {L'}{L}}=\left({\frac {l'}{l}}\right)^{1+{\frac {k}{2}}}}$

Herleitung

Die Lagrangegleichungen sind invariant unter einer Skalierung ${\displaystyle {\mathcal {L}}\to {\mathcal {L}}'=\xi {\mathcal {L}}}$, wobei ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ die Lagrangefunktion des Systems ist. In der klassischen Mechanik gilt

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}m\left({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}-V(x)}$

Skaliert man alle Koordinaten mit dem Faktor ${\displaystyle \alpha }$ und alle Zeiten mit dem Faktor ${\displaystyle \beta }$, dann gilt mit der Annahme eines skaleninvarianten Potentials

${\displaystyle {\mathcal {L}}'={\frac {1}{2}}m{\frac {\alpha ^{2}}{\beta ^{2}}}\left({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}-\alpha ^{k}V(x)}$

und s​omit die Invarianz d​er Bewegungsgleichungen für

${\displaystyle \beta =\alpha ^{1-{\frac {k}{2}}}}$.

Eine Skalierung der koordinatenartigen Größen um einen Faktor ${\displaystyle \alpha }$ erfordert somit eine Skalierung der zeitartigen Größen um einen Faktor ${\displaystyle \textstyle \alpha ^{1-{\frac {k}{2}}}}$, um „dieselbe Physik“ zu erhalten.

Anwendungen

In d​er klassischen Physik g​ibt es d​rei bekannte Anwendungen d​er mechanischen Ähnlichkeit:

• Für den freien Fall ist ${\displaystyle V=mgz\sim z^{1}}$. Daraus folgt das Fallgesetz ${\displaystyle t'/t=(l'/l)^{1/2}\Rightarrow t\propto {\sqrt {l}}}$: Die Fallzeit eines Körpers ist proportional der Wurzel aus der Fallhöhe.
• Für den harmonischen Oszillator ist ${\displaystyle V=mgl\phi ^{2}\sim \phi ^{2}}$. Daraus folgt das Pendelgesetz ${\displaystyle t'/t=1}$: Die Periodendauer des Pendels hängt nicht von seiner Auslenkung ab.
• Für das Gravitationsgesetz ist ${\displaystyle V=-GmMr^{-1}\sim r^{-1}}$. Daraus folgt das dritte Keplersche Gesetz ${\displaystyle t'/t=(l'/l)^{3/2}\Leftrightarrow (t'/t)^{2}=(l'/l)^{3}}$: Die Quadrate der Umlaufzeiten der Planeten verhalten sich wie die Kuben ihrer großen Halbachsen.

Literatur

• L. D. Landau und E. M. Lifshitz: Mechanics. 3. Auflage. Butterworth-Heinemann, Oxford 1976, ISBN 978-0-7506-2896-9, S. 22–24 (englisch).