Majorantenkriterium

Das Majorantenkriterium i​st ein mathematisches Konvergenzkriterium für unendliche Reihen. Die Grundidee ist, e​ine Reihe d​urch eine größere, s​o genannte Majorante, abzuschätzen, d​eren Konvergenz bekannt ist. Umgekehrt k​ann mit e​iner Minorante d​ie Divergenz nachgewiesen werden.

Formulierung des Kriteriums

Sei e​ine unendliche Reihe

${\displaystyle S=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$

mit reellen oder komplexen Summanden ${\displaystyle a_{n}}$ gegeben. Gibt es nun eine konvergente unendliche Reihe

${\displaystyle T=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}}$

mit nichtnegativen reellen Summanden ${\displaystyle b_{n}}$ und gilt für fast alle ${\displaystyle n}$:

${\displaystyle |a_{n}|\leq b_{n},}$

dann ist die Reihe ${\displaystyle S}$ absolut konvergent. Man sagt, die Reihe ${\displaystyle S}$ wird von ${\displaystyle T}$ majorisiert oder ${\displaystyle T}$ ist die Majorante von ${\displaystyle S}$.

Kehrt man diesen Schluss um, erhält man das Minorantenkriterium: Sind ${\displaystyle S}$ und ${\displaystyle T}$ Reihen mit nichtnegativen reellen Summanden ${\displaystyle a_{n}}$ bzw. ${\displaystyle b_{n}}$, und gilt

${\displaystyle a_{n}\geq b_{n}}$

für fast alle ${\displaystyle n}$, dann folgt: Ist ${\displaystyle T}$ divergent, dann ist auch ${\displaystyle S}$ divergent.

Beweis

Konvergiert die Reihe ${\displaystyle T=\sum _{\nu =0}^{\infty }b_{\nu }}$, dann gibt es zu jedem ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ein ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$, so dass ${\displaystyle \sum _{\nu =n}^{m}b_{\nu }<\varepsilon }$ für alle ${\displaystyle m\geq n>N}$ gilt (Cauchykriterium).

Aus der Dreiecksungleichung und ${\displaystyle |a_{\nu }|\leq b_{\nu }}$ folgt ${\displaystyle {\Big |}\sum _{\nu =n}^{m}a_{\nu }{\Big |}\leq \sum _{\nu =n}^{m}|a_{\nu }|\leq \sum _{\nu =n}^{m}b_{\nu }<\varepsilon }$. Daraus folgt die (absolute!) Konvergenz von ${\displaystyle S=\sum _{\nu =0}^{\infty }a_{\nu }}$ nach dem Cauchykriterium.

Beispiel

Die geometrische Reihe

${\displaystyle T=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\dotsb }$

ist konvergent. Wegen ${\displaystyle {\frac {1}{2^{n}+1}}\leq {\frac {1}{2^{n}}}}$ konvergiert somit auch die Reihe

${\displaystyle S=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}+1}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{17}}+\dotsb }$.

Anwendungen

Das Majorantenkriterium wird auch als allgemeinste Form eines Vergleichskriteriums 1. Art bezeichnet, alle weiteren ergeben sich durch das Einsetzen konkreter Reihen für ${\displaystyle T=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}}$. Am prominentesten sind dabei das Wurzelkriterium und das Quotientenkriterium, in welchen die geometrische Reihe als Vergleichsreihe gewählt wird.

Ebenfalls lässt s​ich aus d​em Majoranten- bzw. Minorantenkriterium d​as Cauchysche Verdichtungskriterium herleiten, m​it dem s​ich beispielsweise zeigen lässt, d​ass die harmonische Reihe

${\displaystyle S_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{\alpha }}}}$

konvergent für ${\displaystyle \alpha >1}$ und divergent für ${\displaystyle 0<\alpha \leq 1}$ ist.

Das Majorantenkriterium kann auf den Fall normierter Vektorräume ausgedehnt werden, es besagt dann, dass falls ${\displaystyle \|a_{n}\|\leq b_{n}}$ für fast alle ${\displaystyle n}$ gilt, die Partialsummenfolge von ${\displaystyle S=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ eine Cauchy-Folge ist. Ist der Raum vollständig, d. h. ein Banachraum, so konvergiert ${\displaystyle S}$, falls ${\displaystyle T}$ konvergiert. Insbesondere folgt daraus der Fixpunktsatz von Banach, der in vielen konstruktiven Sätzen der Analysis benutzt wird.

Siehe auch

• Weierstraßsches Majorantenkriterium

Literatur

• Otto Forster: Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. 8. Aufl. Vieweg-Verlag, 2006. ISBN 3-8348-0088-0