Mahler-Maß

Das Mahler-Maß i​st in d​er Mathematik e​in Maß für d​ie Komplexität v​on Polynomen. Es i​st nach Kurt Mahler (1903–1988) benannt u​nd wurde ursprünglich i​n der Suche n​ach großen Primzahlen verwendet. Heute i​st es w​egen des Zusammenhangs z​u speziellen Werten v​on L-Funktionen Gegenstand zahlreicher Vermutungen d​er analytischen Zahlentheorie.

Definition

Das Mahler-Maß ${\displaystyle M(p)}$ eines Polynoms ${\displaystyle p(x)\in \mathbb {C} [x]}$ mit reellen oder komplexen Koeffizienten ist

${\displaystyle M(p)=\lim _{\tau \rightarrow 0}\|p\|_{\tau }=\exp \left({\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\ln(|p(e^{i\theta })|)\,d\theta \right).}$

Hierbei ist

${\displaystyle \|p\|_{\tau }=\left({\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }|p(e^{i\theta })|^{\tau }\,d\theta \right)^{1/\tau }\,}$

die ${\displaystyle L_{\tau }}$-Norm von ${\displaystyle p}$. Mit Hilfe der Jensenschen Formel kann man zeigen, dass aus

${\displaystyle p(z)=a(z-\alpha _{1})(z-\alpha _{2})\cdots (z-\alpha _{n})}$

folgt:

${\displaystyle M(p)=|a|\prod _{i=1}^{n}\max\{1,|\alpha _{i}|\}=|a|\prod _{|\alpha _{i}|\geq 1}|\alpha _{i}|.}$

Das logarithmische Mahler-Maß e​ines Polynoms i​st definiert als

${\displaystyle m(P)=\log M(P)}$.

Das Mahler-Maß einer algebraischen Zahl ${\displaystyle \alpha }$ ist definiert als das Mahler-Maß des Minimalpolynoms von ${\displaystyle \alpha }$ über ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.

Eigenschaften

• Das Mahler-Maß ist multiplikativ, d. h. ${\displaystyle M(p\,q)=M(p)\cdot M(q).}$
• Für zyklotomische Polynome und ihre Produkte gilt ${\displaystyle M(p)=1}$.
• Satz von Kronecker: Wenn ${\displaystyle p}$ ein irreduzibles monisches Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten und ${\displaystyle M(p)=1}$ ist, dann ist entweder ${\displaystyle p(z)=z,}$ oder ${\displaystyle p}$ ist ein zyklotomisches Polynom.
• Die Lehmersche Vermutung besagt, dass es eine Konstante ${\displaystyle \mu >1}$ gibt, so dass jedes irreduzible Polynom ${\displaystyle p}$ mit ganzzahligen Koeffizienten entweder zyklotomisch ist oder ${\displaystyle M(p)>\mu }$ erfüllt.
• Das Mahler-Maß eines monischen Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten ist eine Perron-Zahl.

Spezielle Werte von L-Funktionen

Es g​ibt zahlreiche vermutete u​nd teils a​uch bewiesene Beziehungen zwischen (logarithmischen) Mahler-Maßen v​on Polynomen u​nd speziellen Werten v​on L-Funktionen.

Das historisch e​rste Beispiel hierfür w​ar Smyth's Formel

${\displaystyle m(1+x_{1}+x_{2})={\frac {3{\sqrt {3}}}{4\pi }}L(\chi _{-3},2)}$

mit

${\displaystyle L(\chi _{-3},2)={\frac {1}{1^{s}}}-{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}-{\frac {1}{5^{s}}}+-\ldots }$.

Eine Vermutung von Chinburg besagt, dass man zu jeder negativen Zahl ${\displaystyle -f}$ ein Laurent-Polynom ${\displaystyle P_{f}\in \mathbb {Z} (x,y)}$ und eine rationale Zahl ${\displaystyle r_{f}\in \mathbb {Q} }$ mit

${\displaystyle m(P_{f})=r_{f}d_{F}}$

für d​ie Diskriminante

${\displaystyle d_{f}={\frac {f{\sqrt {f}}}{4\pi }}L(\chi _{-f},2)}$

des Charakters ${\displaystyle \chi _{-f}(n)=\left({\frac {-f}{n}}\right)}$ hat. Ein auf Boyd und Rodriguez-Villegas zurückgehender Ansatz besteht darin, logarithmische Mahler-Maße einer bestimmten Klasse von Polynomen (insbesondere A-Polynomen hyperbolischer Mannigfaltigkeiten) als rationale Linearkombinationen von Werten des Bloch-Wigner-Dilogarithmus an algebraischen Argumenten darzustellen, und dieses wiederum mit dem Volumen einer hyperbolischen Mannigfaltigkeit und über den Satz von Borel mit speziellen Werten von Zeta-Funktionen in Beziehung zu setzen.

Mahler-Maß für Polynome mehrerer Variablen

Das Mahler-Maß ${\displaystyle M(p)}$ eines Polynoms ${\displaystyle p(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ wird analog definiert durch die Formel

${\displaystyle M(p)=\exp \left({\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{2\pi }\cdots \int _{0}^{2\pi }\ln {\Bigl (}{\bigl |}p(e^{i\theta _{1}},e^{i\theta _{2}},\ldots ,e^{i\theta _{n}}){\bigr |}{\Bigr )}\,d\theta _{1}\,d\theta _{2}\cdots d\theta _{n}\right).}$

Es kann gezeigt werden, dass ${\displaystyle M(p)}$ konvergiert.[1]

Für ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}=(r_{1},\ldots ,r_{n})\in \mathbb {N} ^{n}}$ bezeichne

${\displaystyle q({\boldsymbol {r}}):={\text{min}}\{{\text{max}}\{|s_{j}|:1\leq j\leq N\}:s=(s_{1},\dots ,s_{N})\in \mathbb {Z} ^{N},s\neq (0,\dots ,0)\ {\text{and}}\ \sum _{j=1}^{N}s_{j}r_{j}=0\}}$

Dann ist

${\displaystyle M{\bigl (}p(x_{1},\ldots ,x_{n}){\bigr )}=\lim _{{\boldsymbol {r}}\in \mathbb {N} ^{n} \atop q({\boldsymbol {r}})\to \infty }M{\bigl (}p(x^{r_{1}},x^{r_{2}},\ldots ,x^{r_{n}}){\bigr )}.}$

Literatur

• Derrick Henry Lehmer: Factorization of certain cyclotomic functions. Ann. of Math. (2) 34 (1933), no. 3, 461–479.
• David W. Boyd: Speculations concerning the range of Mahler's measure. Canad. Math. Bull. 24 (1981), 453–469.
• Klaus Schmidt: Dynamical systems of algebraic origin. Progress in Mathematics, 128. Birkhäuser Verlag, Basel, 1995. ISBN 3-7643-5174-8

Weblinks

• Mahler's measure and special values of L-functions

Einzelnachweise

1. W. Lawton: A problem of Boyd concerning geometric means of polynomials. J. Number Theory 16 (1983), no. 3, 356–362.