Lichtkegel

In der relativistischen Physik bezeichnet der Lichtkegel eines Ereignisses ${\displaystyle E}$ die Menge aller Ereignisse ${\displaystyle E'}$, die sich mit Lichtgeschwindigkeit ${\displaystyle c}$ auf ${\displaystyle E}$ auswirken oder von ${\displaystyle E}$ mit Lichtgeschwindigkeit beeinflusst werden können.

Lichtkegel in einer Raumzeit mit zwei Raumdimensionen, Vorwärts-Lichtkegel in positiver Zeitrichtung.
Der Beobachter eines Ereignisses ${\displaystyle E}$ befindet sich im Schnittpunkt von Vergangenheits- und Zukunfts-Lichtkegel (Gegenwart).

Der Lichtkegel i​st ein Doppelkegel i​m vierdimensionalen Minkowski-Raum. Er besteht aus

• dem Rückwärts-Lichtkegel, der genau die Ereignisse ${\displaystyle E'}$ enthält, die vor ${\displaystyle E}$ stattgefunden haben (Vergangenheit, ${\displaystyle t'<t}$) und ${\displaystyle E}$ mit Lichtgeschwindigkeit bewirkt haben können (siehe Lokalität und Kausalität), und
• dem Vorwärts-Lichtkegel, das sind die Ereignisse ${\displaystyle E',}$ die später als ${\displaystyle E}$ stattfinden (Zukunft, ${\displaystyle t'>t}$) und von ${\displaystyle E}$ mit Lichtgeschwindigkeit verursacht worden sein können.

Definition

Seien

• ${\displaystyle (t,x,y,z)}$ die Orts- und Zeitkoordinaten von ${\displaystyle E}$,
• ${\displaystyle (t',x',y',z')}$ die Koordinaten von ${\displaystyle E'}$,
• ${\displaystyle (t'-t,x'-x,y'-y,z'-z)}$ die Komponenten des Differenzvektors ${\displaystyle E'-E}$,
• ${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}:=c^{2}\cdot \mathrm {d} t^{2}-\mathrm {d} x^{2}-\mathrm {d} y^{2}-\mathrm {d} z^{2}}$ das Quadrat des differentiellen Abstands in der flachen Raumzeit, der für alle Beobachter identisch ist. Die hier verwendete Signatur ist ${\displaystyle (+,-,-,-)}$. Für eine Signatur ${\displaystyle (-,+,+,+)}$ gelten für ${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}}$ analoge Definitionen mit umgekehrtem Vorzeichen.

Lichtartiger Differenzvektor

Wenn d​er Differenzvektor lichtartig ist:

${\displaystyle {\begin{aligned}&&\mathrm {d} s^{2}&=0\\\Leftrightarrow &&c^{2}\,(t'-t)^{2}-(x'-x)^{2}-(y'-y)^{2}-(z'-z)^{2}&=0\\\Leftrightarrow &&\left({\frac {x'-x}{t'-t}}\right)^{2}+\left({\frac {y'-y}{t'-t}}\right)^{2}+\left({\frac {z'-z}{t'-t}}\right)^{2}&=c^{2}\\\Leftrightarrow &&v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}&=c^{2},\end{aligned}}}$

dann liegt ${\displaystyle E'}$ in der speziellen Relativitätstheorie auf dem Lichtkegel von ${\displaystyle E.}$ Genau die Ereignisse auf dem Rückwärts- bzw. Vergangenheits-Lichtkegel sind aktuell für einen Beobachter sichtbar, der sich in ${\displaystyle E}$ aufhält (ohne Berücksichtigung der Expansion des Universums).

Zeitartiger Differenzvektor

Ist d​er Differenzvektor zeitartig:

${\displaystyle {\begin{aligned}&&\mathrm {d} s^{2}&>0\\\Leftrightarrow &&c^{2}\,(t'-t)^{2}-(x'-x)^{2}-(y'-y)^{2}-(z'-z)^{2}&>0\\\Leftrightarrow &&v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}&<c^{2},\end{aligned}}}$

so liegt ${\displaystyle E'}$ im Inneren des Rückwärts- oder Vorwärts-Lichtkegels von ${\displaystyle E}$, je nachdem, ob es vor oder nach ${\displaystyle E}$ stattgefunden hat. Dann kann es sich bei ${\displaystyle E'}$ um die Ursache oder um die Auswirkung von ${\displaystyle E}$ handeln, die sich langsamer als Licht auswirkt. Ereignisse innerhalb des Rückwärts- bzw. Vergangenheits-Lichtkegels waren früher für einen Beobachter sichtbar, der sich an derselben Stelle im Raum aufhielt wie ${\displaystyle E}$ (ohne Berücksichtigung der Expansion des Universums).

Raumartiger Differenzvektor

Ist d​er Differenzvektor raumartig:

${\displaystyle {\begin{aligned}&&\mathrm {d} s^{2}&<0\\\Leftrightarrow &&c^{2}\,(t'-t)^{2}-(x'-x)^{2}-(y'-y)^{2}-(z'-z)^{2}&<0\\\Leftrightarrow &&v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}&>c^{2},\end{aligned}}}$

so liegt ${\displaystyle E'}$ außerhalb des Rückwärts- oder Vorwärts-Lichtkegels. Bei den Ereignissen kann es sich nicht um Ursache und Wirkung handeln, denn dann müsste sich eine Ursache mit Überlichtgeschwindigkeit auswirken. Ereignisse außerhalb des Rückwärts- bzw. Vergangenheits-Lichtkegels von ${\displaystyle E}$ und vor ${\displaystyle E}$ sind für einen Beobachter, der sich in ${\displaystyle E}$ aufhält, (noch) nicht sichtbar (d. h. sie liegen hinter dem Ereignishorizont, ohne Berücksichtigung der Expansion des Universums).

Folgen für die Lösung relativistischer Differentialgleichungen

Die Lösung der inhomogenen Klein-Gordon-Gleichung, gültig für Bosonen, hängt für das Ereignis ${\displaystyle E}$ nur ab von den früheren Anfangsbedingungen sowie der Inhomogenität auf dem Rückwärts-Lichtkegel von ${\displaystyle E}$ und in seinem Inneren.

Die Lösung der homogenen Klein-Gordon-Gleichung (verschwindende Masse, entspricht der Wellengleichung) hängt nur ab von den Anfangsbedingungen und der Inhomogenität auf dem Rückwärts-Lichtkegel von ${\displaystyle E}$, aber nicht mehr von der Inhomogenität in seinem Inneren. Anfangsbedingungen und Inhomogenität wirken sich in diesem Fall nur mit Lichtgeschwindigkeit aus.

Die Folgen für d​ie Lösung anderer grundlegender relativistischer Gleichungen (z. B. d​er Dirac-Gleichung, gültig für Fermionen) s​ind entsprechend.

Siehe auch

• Minkowski-Diagramm

Literatur

• Richard Courant, David Hilbert: Methoden der mathematischen Physik. Band 2. Zweite Auflage. Springer Verlag, Berlin 1968 (Heidelberger Taschenbücher 31, ISSN 0073-1684).

Weblinks

• Norbert Dragon: Geometrie der Relativitätstheorie. (PDF; 2,4 MB).