Kreis des Apollonios

In d​er Geometrie i​st der Kreis d​es Apollonios (auch Kreis d​es Apollonius o​der apollonischer Kreis) e​in spezieller geometrischer Ort, nämlich d​ie Menge a​ller Punkte, für d​ie das Verhältnis d​er Entfernungen z​u zwei vorgegebenen Punkten e​inen vorgegebenen Wert hat. Der Kreis d​es Apollonios i​st nicht z​u verwechseln m​it dem apollonischen Problem, e​inem Berührkreis-Problem. Namensgeber i​st in beiden Fällen Apollonios v​on Perge.

Satz und Definition

Kreis des Apollonios

• Gegeben seien eine Strecke ${\displaystyle [AB]}$ und eine positive reelle Zahl ${\displaystyle \lambda \neq 1}$. Dann ist die Punktmenge
  ${\displaystyle k_{A}=\{X|{\overline {AX}}:{\overline {XB}}=\lambda \}}$
  ein Kreis, der als Kreis des Apollonios bezeichnet wird.

Zur Begründung der Kreiseigenschaft verwendet man den inneren und den äußeren Teilungspunkt der Strecke ${\displaystyle [AB]}$ im Verhältnis ${\displaystyle \lambda }$. Diese beiden Punkte (${\displaystyle T_{i}}$ und ${\displaystyle T_{a}}$) erfüllen die oben geforderte Bedingung und teilen die Strecke ${\displaystyle [AB]}$ harmonisch. Ist nun ${\displaystyle X}$ ein beliebiger Punkt mit der Eigenschaft ${\displaystyle {\overline {AX}}:{\overline {XB}}=\lambda }$, so teilt die Gerade ${\displaystyle XT_{i}}$ die gegebene Strecke ${\displaystyle [AB]}$ im Verhältnis ${\displaystyle {\overline {XA}}:{\overline {XB}}}$. ${\displaystyle XT_{i}}$ muss daher mit der Winkelhalbierenden des Winkels ${\displaystyle AXB}$ übereinstimmen. Entsprechend lässt sich zeigen, dass die Gerade ${\displaystyle XT_{a}}$ den Nebenwinkel von ${\displaystyle \angle AXB}$ halbiert. Da die Winkelhalbierenden von Nebenwinkeln zueinander senkrecht stehen, muss ${\displaystyle X}$ auf dem Thaleskreis über ${\displaystyle [T_{i}T_{a}]}$ liegen.

Umgekehrt erfüllt jeder Punkt ${\displaystyle X}$ des genannten Thaleskreises die Bedingung ${\displaystyle {\overline {AX}}:{\overline {XB}}=\lambda }$.

Im speziellen Fall ${\displaystyle \lambda =1}$ ist die gesuchte Punktmenge die Mittelsenkrechte der Punkte A und B.

Weitere Eigenschaften

• Der Radius des Apollonios-Kreises beträgt ${\displaystyle r_{A}={\tfrac {\lambda }{|\lambda ^{2}-1|}}{\overline {AB}}}$.

• Der durch ${\displaystyle T_{i}}$ gehende Apollonioskreis für die Strecke ${\displaystyle [AB]}$ ist der durch ${\displaystyle T_{i}}$ gehende Inversionskreis, bezogen auf den die Endpunkte ${\displaystyle A,B}$ zueinander invers sind.

• Wenn A und B bei Inversion am Apollonioskreis ineinander übergehen, wird jeder durch A und B gehende Kreis ebenfalls in sich selbst invertiert und schneidet den Apollonioskreis deshalb rechtwinklig. Dies gilt insbesondere auch für den über ${\displaystyle [AB]}$ geschlagenen Kreis. Wegen der Reziprozität der harmonischen Teilung – teilt ein Punktpaar ein anderes harmonisch, so ist es selbst von diesem harmonisch geteilt (im Verhältnis ${\displaystyle {\tfrac {\lambda +1}{\lambda -1}}}$ statt ${\displaystyle \lambda }$ ) – ist der Kreis über ${\displaystyle [AB]}$ Apollonioskreis für die Strecke ${\displaystyle [T_{i}T_{a}]}$.

• Die drei Kreise des Apollonios eines Dreiecks schneiden sich im isodynamischen Punkt des entsprechenden Dreiecks.

Literatur

• Franz Lemmermeyer: Mathematik à la Carte: Quadratische Gleichungen mit Schnitten von Kegeln. Springer, 2016, ISBN 9783662503416, S. 98
• Joachim Engel, Andreas Fest: Komplexe Zahlen und ebene Geometrie. Walter de Gruyter, 2016, ISBN 9783110406887, S. 40
• Nathan Altshiller: On the Circles of Apollonius. The American Mathematical Monthly, Band 22, Nr. 8 (Okt., 1915), S. 261–263 (JSTOR 2691113)
• Roger A. Johnson: Advanced Euclidean Geometry. Dover 2007, ISBN 978-0-486-46237-0, S. 40, 294–297 (Erstveröffentlichung 1929 bei der Houghton Mifflin Company (Boston) unter dem Titel Modern Geometry).

Weblinks

• http://www.herder-oberschule.de/madincea/aufg0009/harmonie.pdf (PDF-Datei; 261 kB)
• Apolloniuskreis auf cut-the-knot.org
• David B. Surowski: Advanced High-School Mathematics- englisches Skript, S. 31