Isodynamischer Punkt

Die beiden isodynamischen Punkte gehören zu den ausgezeichneten Punkten eines Dreiecks.

Gegeben sei ein Dreieck ABC mit den Halbierenden seiner Innen- und Außenwinkel. U_a sei der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden von ${\displaystyle \alpha }$ mit der Geraden BC, V_a der Schnittpunkt der entsprechenden Außenwinkelhalbierenden mit BC. Entsprechend seien die Punkte U_b und V_b (jeweils auf CA) sowie U_c und V_c (jeweils auf AB) definiert. Dann haben die drei Kreise mit den Durchmessern |U_a V_a|, |U_b V_b| und |U_c V_c| zwei Punkte S und S' gemeinsam. S wird als 1. isodynamischer Punkt bezeichnet (Kimberling-Nummer ${\displaystyle X_{15}}$), S' als 2. isodynamischer Punkt (Kimberling-Nummer ${\displaystyle X_{16}}$).

Koordinaten

Isodynamische Punkte (${\displaystyle X_{15}}$ und ${\displaystyle X_{16}}$)
Trilineare Koordinaten	${\displaystyle \sin \left(\alpha \pm {\frac {\pi }{3}}\right)\,:\,\sin \left(\beta \pm {\frac {\pi }{3}}\right)\,:\,\sin \left(\gamma \pm {\frac {\pi }{3}}\right)}$
Baryzentrische Koordinaten	${\displaystyle a\sin \left(\alpha \pm {\frac {\pi }{3}}\right)\,:\,b\sin \left(\beta \pm {\frac {\pi }{3}}\right)\,:\,c\sin \left(\gamma \pm {\frac {\pi }{3}}\right)}$

Eigenschaften

• Die beiden isodynamischen Punkte sind isogonal konjugiert zu den beiden Fermat-Punkten.
• Die Inversion (Kreisspiegelung) am Umkreis führt einen der beiden isodynamischen Punkte in den anderen über.
• Die Fußpunktdreiecke der beiden isodynamischen Punkte sind gleichseitig.
• Die isodynamischen Punkte liegen auf der Brocard-Achse.
• Bei den drei Kreisen handelt es sich um Kreise des Apollonios, deren Mittelpunkte kollinear sind.

Literatur

• Roger A. Johnson: Advanced Euclidean Geometry. Dover 2007, ISBN 978-0-486-46237-0, S. 222, 294–297 (Erstveröffentlichung 1929 bei der Houghton Mifflin Company (Boston) unter dem Titel Modern Geometry).

Weblinks

• Eric W. Weisstein (MathWorld): Isodynamic Points (First isodynamic Point und Second isodynamic Point)