Kontiguität (Wahrscheinlichkeitstheorie)

In d​er Wahrscheinlichkeitstheorie werden z​wei Folgen v​on Wahrscheinlichkeitsmaßen a​ls benachbart o​der contiguous bezeichnet, w​enn sie asymptotisch denselben Träger haben. Somit erweitert d​er Begriff d​er Kontiguität (auch Benachbartheit o​der contiguity) d​en Begriff d​er absoluten Stetigkeit v​on Maßen.[1]

Das Konzept w​urde ursprünglich v​on Lucien Le Cam 1960 i​m Rahmen seiner Beiträge z​ur abstrakten asymptotischen Wahrscheinlichkeitstheorie eingeführt.[2]

Definition

Es sei ${\displaystyle (\Omega _{n},{\mathcal {F}}_{n})}$ eine Folge von Messräumen, jeweils mit zwei Wahrscheinlichkeitsmaßen ${\displaystyle P_{n}}$ und ${\displaystyle Q_{n}}$ ausgestattet.

• Die Folge ${\displaystyle Q_{n}}$ heißt benachbart zu ${\displaystyle P_{n}}$ (in Symbolen ${\displaystyle Q_{n}\vartriangleleft P_{n}}$), falls für jede Folge ${\displaystyle A_{n}}$ von messbaren Mengen, ${\displaystyle P_{n}(A_{n})\rightarrow 0}$ impliziert, dass ${\displaystyle Q_{n}(A_{n})\rightarrow 0}$.
• Die Folgen ${\displaystyle P_{n}}$ und ${\displaystyle Q_{n}}$ heißen wechselseitig benachbart oder bi-contiguous (in Symbolen ${\displaystyle Q_{n}\vartriangleleft \vartriangleright P_{n}}$), falls ${\displaystyle Q_{n}}$ benachbart zu ${\displaystyle P_{n}}$ und ${\displaystyle P_{n}}$ benachbart zu ${\displaystyle Q_{n}}$.[3]

Das Konzept der Kontiguität hängt mit der absoluten Stetigkeit von Maßen zusammen. Man nennt ein Maß ${\displaystyle Q'}$ bezüglich ${\displaystyle P}$ absolut stetig (in Symbolen ${\displaystyle Q\ll P}$), falls für jede messbare Menge ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle P(A)=0}$ impliziert, dass ${\displaystyle Q(A)=0}$ gilt. Während absolute Stetigkeit fordert, dass der Träger eines Maßes ${\displaystyle P}$ im Träger eines weiteren Maßes ${\displaystyle Q}$ enthalten ist, ersetzt die Kontiguität diese Anforderung mit einer asymptotischen Version: Der Träger von ${\displaystyle Q_{n}}$ ist für große ${\displaystyle n}$ im Träger von ${\displaystyle P_{n}}$ enthalten.

Eigenschaften

• Im Fall ${\displaystyle (P_{n},Q_{n})\equiv (P,Q)}$ gilt: ${\displaystyle Q_{n}\triangleleft P_{n}\Leftrightarrow Q\ll P}$[4]
• Es ist möglich, dass ${\displaystyle P_{n}\ll Q_{n}}$ für alle ${\displaystyle n}$ gilt, ohne dass ${\displaystyle Q_{n}\triangleleft P_{n}}$ ist.[5]

Le Cams erstes Lemma

Für zwei Folgen von Wahrscheinlichkeitsmaßen ${\displaystyle (P_{n}){\text{ und }}(Q_{n})}$ auf den Messräumen ${\displaystyle (\Omega _{n},{\mathcal {F}}_{n})}$ sind folgende Aussagen equivalent:[6][7][8]

• ${\displaystyle P_{n}\triangleleft Q_{n}}$
• ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} Q_{n}}{\mathrm {d} P_{n}}}{\overset {P_{n}}{\,\longrightarrow \,}}U{\text{ auf einer Teilfolge }}\Rightarrow P(U>0)=1}$
• ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} P_{n}}{\mathrm {d} Q_{n}}}{\overset {Q_{n}}{\,\longrightarrow \,}}V{\text{ auf einer Teilfolge }}\Rightarrow E(V)=1}$
• ${\displaystyle T_{n}{\overset {P_{n}}{\,\longrightarrow \,}}0\,\Rightarrow \,T_{n}{\overset {Q_{n}}{\,\longrightarrow \,}}0}$ für alle Teststatistiken ${\displaystyle T_{n}:\Omega _{n}\rightarrow \mathbb {R} }$

wobei ${\displaystyle U}$ und ${\displaystyle V}$ Zufallsvariablen auf ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P){\text{ bzw. }}(\Omega ',{\mathcal {F}}',Q)}$ sind.

Le Cams drittes Lemma

Das dritte Lemma v​on Le Cam i​st eine Version d​es Satzes v​on Radon-Nikodým, i​n dem d​ie absolute Stetigkeit d​urch Kontiguität ersetzt wird.

Der fundamentale Satz von Radon-Nikodým für absolut stetige Maße besagt, dass, wenn ${\displaystyle Q}$ absolut stetig bezüglich ${\displaystyle P}$ ist, ${\displaystyle Q}$ eine Dichte bezüglich ${\displaystyle P}$ hat, bezeichnet als ${\displaystyle f={\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} P}}}$, so dass für jede messbare Menge ${\displaystyle A}$ gilt, dass

${\displaystyle Q(A)=\int _{A}f\,\mathrm {d} P,\,}$

was so interpretiert wird, dass man das Maß ${\displaystyle Q}$ aus der Kenntnis des Maßes ${\displaystyle P}$ und der Ableitung ${\displaystyle f}$ „rekonstruieren“ kann. Ein ähnliches Ergebnis existiert für benachbarte Folgen von Maßen und wird durch das Dritte Lemma von Le Cam gegeben:[9]

Theorem

Sei ${\displaystyle Q_{n}\triangleleft P_{n}}$ mit den zwei Folgen von Wahrscheinlichkeitsmaßen ${\displaystyle (P_{n}){\text{ und }}(Q_{n})}$ auf den Messräumen ${\displaystyle (\Omega _{n},{\mathcal {F}}_{n})}$ und ${\displaystyle X_{n}:\Omega _{n}\to \mathbb {R} ^{k}}$ eine Folge von Zufallsvektoren und es gelte ${\displaystyle \left(X_{n},{\frac {\mathrm {d} Q_{n}}{\mathrm {d} P_{n}}}\right){\overset {P_{n}}{\to }}(X,V)}$.
Dann definiert ${\displaystyle L(B):=E(1_{B}(X)V)}$ ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{k},{\mathcal {B}}^{k})}$ mit ${\displaystyle \int f\ \mathrm {d} L=E(f(X)V)}$ für jede messbare Funktion ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{k}\to \mathbb {R} }$ und es gilt ${\displaystyle X_{n}{\overset {Q_{n}}{\to }}L}$.

Für d​ie Konvergenz g​egen die mehrdimensionale Normalverteilung f​olgt daraus folgendes Korollar:

Korollar

Seien ${\displaystyle (P_{n}){\text{ und }}(Q_{n})}$ Folgen von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf den Messräumen ${\displaystyle (\Omega _{n},{\mathcal {F}}_{n})}$, und sei ${\displaystyle X_{n}:\Omega _{n}\to \mathbb {R} ^{k}}$ eine Folge von Zufallsvektoren und es gelte
${\displaystyle \left(X_{n},\log {\frac {dQ_{n}}{dP_{n}}}\right)\quad {\overset {P_{n}}{\to }}\quad {\mathcal {N}}_{k+1}\left({\begin{pmatrix}\mu \\-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}\Sigma &\tau \\\tau '&\sigma ^{2}\end{pmatrix}}\right).}$
Dann gilt: ${\displaystyle X_{n}{\overset {Q_{n}}{\to }}{\mathcal {N}}_{k}(\mu +\tau ,\Sigma )}$.

Anwendungen

• Ökonometrie[10]

Literatur

• Ulrich Müller-Funk: Mathematische Statistik II. Asymptotische Statistik: Parametrische Modelle und nichtparametrische Funktionale. Vieweg+Teubner Verlag, Stuttgart 2013, ISBN 978-3-322-90152-1, S. 291 ff.
• Jaroslav Hájek, Zbyněk Šidák (1967). Theory of rank tests. New York: Academic Press.
• Lucien Le Cam (1960). "Locally asymptotically normal families of distributions". University of California Publications in Statistics. 3: 37–98.
• George G. Roussas (2001) [1994], "Contiguity of probability measures", Encyclopaedia of Mathematics, EMS Press
• Aad van der Vaart (1998). Asymptotic statistics. Cambridge University Press.
• George G. Roussas (1972), Contiguity of Probability Measures: Some Applications in Statistics, CUP, ISBN 978-0-521-09095-7.
• D.J. Scott (1982) Contiguity of Probability Measures, Australian & New Zealand Journal of Statistics, 24 (1), 80–88.
• Erich Leo Lehmann, Joseph Paul Romano (2008), Testing Statistical Hypotheses. Springer New York.

Einzelnachweise

1. Wolfowitz J. (1974) Review of the book: "Contiguity of Probability Measures: Some Applications in Statistics. by George G. Roussas", Journal of the American Statistical Association, 69, 278–279 jstor
2. Aad van der Vaart: The statistical work of Lucien Le Cam. In: The Annals of Statistics. Band 30, Nr. 3, 1. Juni 2002, ISSN 0090-5364, doi:10.1214/aos/1028674836 (projecteuclid.org [abgerufen am 1. Mai 2021]).
3. van der Vaart (1998, S. 87)
4. Reiß, Bemerkung 4.35
5. Bartlett, S. 12
6. Gutti Jogesh Babu und Bing Li: A Revisit to Le Cam’s First Lemma. In: The Indian Journal of Statistics. Pennsylvania State University, 26. Februar 2020, abgerufen am 10. Januar 2022.
7. Reiß, Lemma 4.36
8. Lucien M. Le Cam: Asymptotic methods in statistical decision theory. Springer-Verlag, New York 1986, ISBN 0-387-96307-3 (OCLC=13457116 [abgerufen am 1. Mai 2021]).
9. Bartlett, S. 20
10. course nov14. (Nicht mehr online verfügbar.) Ehemals im Original; abgerufen am 12. November 2009. (Seite nicht mehr abrufbar, Suche in Webarchiven)

Weblinks

• Reinhard Höpfner: Benachbartheit. Institut für Mathematik, Johannes Gutenberg-Universität Mainz, 29. Mai 2008.
• Markus Reiß: Mathematische Statistik, Gliederung zur Vorlesung im Sommersemester 2018. Humboldt-Universität zu Berlin, 17. Juli 2018, S. 48 ff.
• Peter Bartlett: Theoretical Statistics. Lecture 21. University of California, Berkeley, 2013, abgerufen am 14. Januar 2022.
• David Pollard: Contiguity Asymptopia. (Nicht mehr online verfügbar.) Yale University, 17. Oktober 2000, archiviert vom Original (englisch).
• Krishen Mehra: Asymptotic normality under contiguity in a dependence case. In: Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete. Department of Mathematics, University of Alberta, 7. August 1967 (englisch).
• K. Behnen, G. Neuhaus: A Central Limit Theorem under Contiguous Alternatives. Albert-Ludwigs-Universität Freiburg, 1975 (englisch).
• Moulinath Banerjee: Superefficiency, Contiguity, LAN, Regularity, Convolution Theorems. University of Michigan, 6. Dezember 2006 (englisch).
• W. J. Hall und R. M. Loynes: On the Concept of Contiguity. In: The Annals of Probability. Institute of Mathematical Statistics, 1. August 1975 (englisch).