Vektorwertige Funktion

Eine vektorwertige Funktion i​st in d​er Mathematik e​ine Funktion, d​eren Zielmenge e​in mehrdimensionaler Vektorraum ist. Vektorwertige Funktionen werden insbesondere i​n der mehrdimensionalen Analysis, d​er Differentialgeometrie u​nd der Funktionalanalysis untersucht.

Definition

Eine Funktion

${\displaystyle f\colon D\to V}$

heißt vektorwertig, wenn ihre Zielmenge ${\displaystyle V}$ ein Vektorraum ist. Insbesondere ist die Struktur der Definitionsmenge ${\displaystyle D}$ nicht relevant, nur die der Zielmenge.

In vielen Fällen wird als Vektorraum der ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ verwendet, solche Funktionen heißen dann auch reell-vektorwertig. Ist der Vektorraum der ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, so heißen die Funktionen analog komplex-vektorwertig.

Beispiele

• Die Abbildung ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2}}$, definiert durch

${\displaystyle f(x)={\begin{pmatrix}x^{2}\\-3x\end{pmatrix}}}$

ist eine reell-vektorwertige Funktion.

• Die Parameterdarstellung einer Kurve in zwei oder mehr Dimensionen ist eine reell-vektorwertige Funktion von ${\displaystyle \mathbb {R} }$ nach ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

• Eine vektorwertige Funktion ${\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R} ^{n}}$ wird im Fall ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ auch Vektorfeld genannt.

Literatur

Otto Forster: Analysis 2. Differentialrechnung im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, gewöhnliche Differentialgleichungen. 10., verbesserte Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden 2013, ISBN 978-3-658-02356-0, doi:10.1007/978-3-658-02357-7.