Punktweises Produkt

Das punktweise Produkt in der Mathematik ist eine innere zweistellige Verknüpfung, die neben der Faltung als Produkt zweier Funktionen verstanden wird. Das punktweise Produkt ist nur definiert, wenn die Bildmengen ${\displaystyle \operatorname {Bild} (f),\;\operatorname {Bild} (g)}$ so gewählt sind, dass alle Elemente miteinander multipliziert werden können.

Definition

Seien ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle g}$ Funktionen mit der Abbildung ${\displaystyle X\to Y.}$ Wenn eine Multiplikation ${\displaystyle \cdot \colon Y\times Y\to Y,\;y_{1}\cdot y_{2}\mapsto \mathrm {z} }$ wohldefiniert ist, dann ist das punktweise Produkt festgelegt als

${\displaystyle (f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)}$.

Anwendung

Punktweise Produkte können verwendet werden, u​m Vektorräume m​it Funktionen z​u definieren. Es können a​uch andere algebraische Strukturen definiert werden, d​ie beispielsweise Ringe o​der Körper enthalten, a​uf denen e​ine Multiplikation definiert ist.